三明一中2025届高中毕业班适应性考试
数学科试卷
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（）
A. B. C. D.
2.已知集合，若，则实数取值范围为（）
A. B.
C. D.
3.已知向量和的夹角为，且，，则（）
A.3 B. C. D.13
4.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（）
A.第85百分位数为18 B.众数为12
C.中位数为17 D.平均成绩为14
5.已知，则（）
A. B. C.2 D.3
6.已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则（）
A.1 B. C. D.1或
7.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
8.已知，若，则下列结论一定成立的是（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列命题中正确的是（）
A.已知随机变量服从正态分布，若，则
B.将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m，n的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
C.若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性强
D.已知，，若，则
10.在三棱锥中，，则（）
A
B.向量与夹角余弦值为
C.向量是平面的一个法向量
D.与平面所成角的正弦值为
11.设函数，若，且，则（）
A.实数的取值范围为
B.
C.
D.当时，
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中的常数项为______．
13.中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置______分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感.
14.设椭圆的左右焦点为，，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若，则椭圆的离心率为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）点在边上，且，求的周长．
16.如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点．
（1）证明：平面．
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
17数列满足：，．
（1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由；
（2）数列满足：，求数列的前项和．
18.已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）．
（1）求双曲线渐近线方程；
（2）若点，且，求点的坐标；
（3）若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值．
19.对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中．
（1）若时，求证：；
（2）若时，求证：；
（3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）．