宁德一中2024-2025学年高三数学月考7试卷
一、单选题
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.已知是关于的方程的一个根，则（）
A.2 B.3 C.5 D.
3.设等比数列的前项和为，若，则（）
A B. C. D.
4.关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（）
A B.
C. D.
5.若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
6.已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为()
A. B.
C D.
7.已知直线与交于点，点是抛物线的焦点，则的最小值为（）
A.5 B.3 C. D.2
8.已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知数列前项和为，且，，，则下列说法正确的是（）
A.是等差数列 B.是等比数列
C. D.
10.样本数据0，2，3，，，7的平均数为3，方差为，中位数为，则（）
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（）
A.动点的轨迹是一条线段
B.直线与的夹角为
C.三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D.平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题
12.已知函数的图象关于直线对称，则______.
13.在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为______.
14.已知函数，的定义域为，，且满足，，则________.
四、解答题
15.在中，，，分别是内角，，的对边，且，，若.
（1）求的大小；
（2）设，为面积，求的取值范围.
16.如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，，分别为，的中点，记平面与底面的交线为.
（1）证明：直线平面；
（2）若在直线上存在点，使得直线与平面所成角为，异面直线，所成角为，且满足，求.
17.向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示：
DeepSeek的应用情况
相关从业人员
合计
减少
未减少
应用
54
72
没有应用
42
合计
90
150
（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？
（2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
（ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率.
（ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：其中，）
18.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的零点个数；
（3）对于恒成立，求实数的取值范围.
19.已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）设，是曲线上不同的两点，是的中点，直线，的斜率分别为，.证明：为定值；
（3）直线与曲线的右支交于点，（在的上方），过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线，与交于点；过点且斜率4为的直线与曲线交于点，（在的上方），再过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线，与交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.证明：共线.