福州三中2024-2025学年第二学期高三第十九次质量检测
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.命题“，”的否定是（）
A， B.，
C.， D.，
2.设复数满足（为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
3.设等差数列的前n项和为若则的公差为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（）（单位：）
A. B. C. D.
5.在锐角中，，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
6.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（）
A. B. C. D.
7.正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（）
A. B. C. D.
8.已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9.下面说法正确的是（）
A.若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4
B.若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
C.已知是随机变量，则
D.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
10.在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，为棱上一动点，设，则（）
A.无论为何值，都有
B.当时，平面平面
C.当时，过点和的平面截三棱锥所得截面面积的最小值为
D.三棱锥外接球表面积的最小值为
11.如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（）
A.圆的圆心都在直线上
B.圆的方程为
C.若，则圆与轴有交点
D.设直线与圆在第二象限的交点为，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上．
12.在多项式的展开式中，的系数为32，则______.
13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.
14.已知函数（，）在区间上单调，且满足，，则所有满足题意的的取值之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
16.如图，在斜三棱柱中，M为中点，底面为等腰直角三角形，且
（1）若在底面内的射影为点B，求点A到平面的距离;
（2）若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
17.已知函数．
（1）若在上存在极小值，求实数的取值范围
（2）讨论在上的零点个数．
18.已知抛物线：，过抛物线焦点且斜率为直线与交于，两点（点在第一象限），已知线段中点纵坐标为.
（1）求抛物线方程；
（2）点在抛物线上移动，位于，两点之间且与，两点不重合.若直线交准线于点，直线交准线于点，其中点在点的上方.
（i）是否存在点，使？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（ii）求线段长度最小值.
19.有三台自动打印机，分别对自然数对进行运算：
第Ⅰ台：输入，则输出；
第Ⅱ台：输入，则输出，仅当a，b同为偶数时；
第Ⅲ台：输入，，则输出．
若输入一组自然数对，运算过程中不再输入其它自然数对，但运算中输出的所有自然数对均可重复使用．例如：若输入，通过第Ⅰ台自动打印机依次可以得到，，；通过第Ⅲ台自动打印机输入，可以得到；通过第Ⅱ台自动打印机输入可以得到．
运算过程简单表示为：
通过上述运算可以将自然数对中的第一个数字变为1．
根据上述运算回答下