东三省名校联盟2025届高三《最后一卷》联合模拟考试
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名?座位号和准考证号填写在答题卡上，并认真阅读答题卡上的注意事项.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
2.等比数列的前项和为，且，，则（）
A. B. C. D.
3.已知，且，则向量与的夹角是（）
A. B. C. D.
4若，则（）
A. B. C. D.
5.在中，已知是边上的中线，则（）
A. B. C. D.
6.设为任意给定的大于1的整数，每个正整数均可以唯一地表示成，我们将.称为的进制表示.例如：由可知，2024的三进制表示为.那么，2025的二进制可表示为（）
A. B.
C. D.
7.已知正三棱锥有一个半径为的内切球，则所有这样的正三棱锥中体积最小的一个的体积是（）
A. B. C. D.
8.已知，，且，则（）
A. B.
C. D.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.2024年奥运会在法国巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织全体学生进行了奥运知识能力竞赛，学生得分在之间，满分100分，现随机调查了200位该校学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图如下，则（）
A.图中的值为0.029
B.参赛学生分数位于区间的概率约为0.85
C.样本数据的分位数约为79
D.参赛学生的平均分数约为69.4
10.已知，则下列说法正确的是（）
A.区间上单调递增
B.将函数图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于原点对称
C.若是偶函数，则
D.若在区间上恰有3个零点，则
11.定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（）
A.函数关于点对称
B.函数关于直线对称
C.函数的周期为4
D.
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________.
13.把除颜色外完全相同5个红球和3个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为__________.（用数字作答）
14.已知a，b为正数，且满足，则的最小值为______．
四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?过程证明或验算步骤.
15.如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为正三角形，且侧面底面分别为线段的中点.
（1）求证：平面.
（2）求平面和平面夹角的正弦值.
16.2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点.参与表演的机器人UnitreeA1由中国某科技企业制造，其具备出色的负载能力和环境适应能力，可应用于巡检与监控?物流运输?安防与救援等场景.现统计出机器人UnitreeA1在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表：
月份
2
3
4
5
6
销售量
45
55
70
110
用最小二乘法得到UnitreeA1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差.
（1）求的值（结果精确到0.1）；
（2）（i）求的值；
（ii）现从这5个月份中随机有放回地抽取3次，每次抽取1个月份，设抽取到销售量大于60的月份次数为，求的分布列和方差.
附：回归系数，相关系数.
17.已知数列的首项为1，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）证明：.
18.已知函数（且）.
（1）当时，求极小值点与极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个零点，（），且，证明：.
19.如图，椭圆和圆，过点作两条相互垂直的直线，，其中与圆相切于点与椭圆相交于不同的两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）求的取值范围；
（3）求面积的最大值.