2022级高三学年下学期超量练一
数学试题
考试时间：120分钟分值：150分
一、单选题（每题5分）
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.复数=(i是虚数单位),则复数的虚部为
A.i B.-i
C.1 D.-1
3.已知则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
4.各项均为正数等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（）
A.20 B.64 C.45 D.50
5.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（）
A. B.函数的图象关于点对称
C.函数的图象关于直线对称 D.函数在上单调递减
6.如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且.若，则（）
A.6 B.8 C. D.
7.如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（）
A. B. C. D.
8.2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（）
A.6 B. C. D.
二、多选题（每题6分，部分选对得部分分）
9.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（）
A.数据的第25百分位数是1；
B.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为；
C.已知随机变量，若，则；
D.某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，，
10.下列命题正确的有（）
A.若数列为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列
B.若数列为等差数列，则为等比数列
C.数列满足：，则
D.已知为数列的前项积，若，则
11.已知函数的定义域为为的导函数且，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（）
A. B.
C. D.
三、填空题（每题5分）
12.若，则________．
13.已知且满足，，则点与圆的位置关系是_____________．（填“点在圆内”、“点在圆上”或“点在圆外”）
14.三棱锥中，平面，，，点在三棱锥外接球的球面上，且，则的最小值为___________.
四、解答题
15.从以下两个条件中选择一个合适的条件将题目补充完整（只填序号），并求解本题：
①；
②曲线在处的切线方程为.
题目：已知函数存极值，并且__________.
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的最值.
注：如果选择多个条件，按第一个解答记分
16.如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，．
（1）求值；
（2）若，，求的值．
17.某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为．
（1）食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人）
套餐A满意度
A套餐改善前
A套餐改善后
合计
满意
20
40
60
不满意
30
30
60
合计
50
70
120
参考数据：，其中．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828
根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？
（2）若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值；
（3）设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求．
18.如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿BC翻折至，使得，如图2所示．
（1）求证：；
（2）在直线上是否存在点，使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为？
若存在，求出的值：若不存在，说明理由．
19.已知椭圆C：经过点．
（1）求C的离心率．
（2）设A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上异于A，B的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．
①当b的值确定时，证明：直线过x轴上的定点；
②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，设，证明：．