2022级高三学年下学期超量练一
数学试题
考试时间：120分钟分值：150分
一、单选题（每题5分）
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性求值域，再进行集合的交集运算.
【详解】由题知，
则，
所以．
故选：B．
2.复数=(i是虚数单位),则复数的虚部为
A.i B.-i
C.1 D.-1
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数运算化简复数，得到，进而得到复数的虚部.
【详解】
∴，
所以复数的虚部为
故选：D
3.已知则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断在上的单调性，将不等式等价于，由一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】，可得当时，单调递减，当时，单调递减，且时函数连续，则在上单调递减，
不等式，可化为，即，
解得：，则原不等式的解集为：，
故选：A
4.各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（）
A.20 B.64 C.45 D.50
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的性质可得，再利用基本不等式可求的最大值.
【详解】因为，故，故，
故，而，故，
故，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：B.
5.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（）
A. B.函数的图象关于点对称
C.函数的图象关于直线对称 D.函数在上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的图象过点，代入解析式中即可求得的值，判断A选项；根据的值可写出函数的解析式，再写出对称中心即可判断B选项；通过图象平移得到的解析式，进而可求得对称轴，判断C选项；利用的解析式写出的解析式，可判断单调性.
【详解】对于A选项，由图可知，函数的图象过点，
，，
，解得，
，，故A正确；
对于B选项，，令，则，
的图象关于对称，
当时，函数关于对称，故B正确；
对于C选项，将向左平移个单位长度，得到，
则的对称轴为，故C错误；
对于D选项，函数，
当时，，
函数在上单调递减，故D正确.
故选：C.
6.如图所示，在中，，，点是中点，点在上，且.若，则（）
A.6 B.8 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解.
【详解】由，得，由点是的中点，，
得，，
则
，解得.
故选：B.
7.如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取圆台下底面圆心，确定取最小值的情况，结合线面平行的性质求出圆台两底半径及高，进而求出圆台体积.
【详解】取圆台下底面圆心，令，连接，显然，
由平面平面，平面，平面，得
则四边形为平行四边形，，
在中，，，在圆中，当且仅当时，取最小值6，
由，解得，因此，圆台的高，
所以该圆台的体积为.
故选：C
8.2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（）
A.6 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设有，设结合定义得，利用三角形面积公式有，即是曲线与以直线的圆的交点，联立曲线与圆求得，应用两点距离公式求.
【详解】由原点在曲线上，则，
设，则，
所以，则，
所以，
由，且，可得，
所以，易知是曲线与以直径的圆的交点，
联立，且在第一象限，可得，
所以.
故选：B
二、多选题（每题6分，部分选对得部分分）
9.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（）
A.数据的第25百分位数是1；
B.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为；
C.已知随机变量，若，则；
D.某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据百分位数、相关系数、二项分布、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A正确；
对于选项B，因为样本点都在直线上，说明负相关且线性相关性很强，所以相关系数为，故B错误．
对于选项C，因为，
所以，解得，故C