2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，利用并集运算求解即可.
【详解】由题得，所以．
故选:B．
2.若复数z为方程的根，则（）
A. B.3 C. D.2
【答案】A
【解析】
【分析】法一：根据实系数一元二次方程的性质，结合复数模的公式进行求解即可；
法二：设，代入方程，列出方程组求解，再根据复数模的公式即可求解．
【详解】法一：由，得，故．
法二：设，代入，得，
所以，即，
所以，解得或，
所以．
故选：A．
3.已知等比数列前3项的积为27，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的性质可得，即可根据基本不等式求解.
【详解】设等比数列的公比为，已知前项的积为，即.
因为，所以，解得.
所以，.
所以.
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：D
4.已知向量，，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由投影向量定义即可求解.
【详解】由题可得，，
所以在上的投影向量为．
故选：A．
5.某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用古典概率模型进行计算，即可得到答案.
【详解】6人分成3个小组，每个小组2人，共有种方法，
3个年级中选1个，该年级的2名学生组成一个小组，有种选择，
剩余两个年级（设为年级）各有2名学生，年级学生记为，年级学生记为，
分组方式有和，和，共2种情况.
所以，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为.
故选：C
6.已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的解，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，由此即可得解.
【详解】由题得，
当时，，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由在区间上的图象可知，若关于x的方程有两个不同的解，，
则，解得．
故选：C．
7.已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（）
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据条件求出抛物线的方程，再分情况讨论，求出三角形的面积.
【详解】由题得圆心，所以圆E关于x轴对称，因为抛物线C关于x轴对称，且直线AB过抛物线C的焦点，
所以直线AB垂直于x轴，不妨设点A在第一象限，则，
所以，即，解得或（舍），
所以抛物线C：，，
因为点K与点F关于原点对称，所以，所以在中，，
当时，，；
当时，，此时
；
当时，不存在．
综上，面积的最大值为2．
故选：B．
8.任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称函数定义，确定的表达式；再通过给定条件分析的取值范围.
【详解】因为，是关于的“对称函数”，
所以，定义域为，
.
令，，在时取得最大值，在或时取得最小值.
则，，，
又，所以，那么.
由在上单调递增，可得的值域为，
因为，，成立，
所以.则，解得.
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.2024年10月27日，国家统计局发布了全国规模以上工业企业各月累计营业收入与累计利润总额同比增速的统计数据，如图所示，则（）
A.累计营业收入增速的方差比累计利润总