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2024—2025学年度上学期2022级
12月月考数学试卷
考试时间：2024年12月26日
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数（其中为虚数单位），则（???）
A． B． C． D．
2．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（）
A．11 B．13 C．63 D．78
3．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）
A． B． C． D．
4．设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（????）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（????）
A． B． C．2 D．3
7．直三棱柱中，，P为BC中点，，Q为上一点，，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（????）
A． B．4 C． D．5
8．若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（????）
A．已知点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则
B．已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
C．已知点G为三条边的中线的交点，则
D．已知，则在上的投影的坐标为
10．如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（???）
A．
B．三棱锥的体积为
C．
D．三棱锥的外接球的表面积为24π
11．已知双曲线的左?右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（????）
A． B．
C．双曲线的渐近线方程为
D．直线的斜率为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中，的系数为15，则a=________.（用数字填写答案）
13．已知正实数满足，则______.
14．在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求b的取值范围．
16．已知函数.函数在处取得极值.
（1）求实数a；
（2）对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
17．如图，在棱长为2的正方体中，、、分别为棱、、的中点.（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦.
18．已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值.
19．给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，.例如数列：，则.，.
（1）若，求和；
（2）求证：；
（3）求的最值.
高三年级12月月考数学答案
1．C2．D3．B4．D5．D6．C7．A8．C9．ACD10．BD11．BC
12．13.14．/1：8
15.(1)(2)
(1)由正弦定理及可得，又，
则，即，
则，因为，所以，，因为，所以．
(2)由余弦定理得，因为，，所以，当且仅当时取等号．又因为，所以．综上所述，，b的取值范围是．
16.(1)(2)
（1），因为在处取得极值，故，解得.当时，，，故在处导函数为0，且在左右导函数异号，满足极值点条件，故
（2），构造函数，即，因为任意，，当时，不等式恒成立，所以函数在上单调递减，即在上恒成立，由，
设，因为，所以，所以函数单调递减，
故，因此，故实数m的取值范围为
17.（1）证明见解析（2）
【解析】（1）证明：正方体中，，分别为棱，的中点，所以，平面，平面，所以，所以，正方形中，为的中点，为的中点，所以，所以，设、交点为，