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广东省广州市第四中学2024-2025学年高三下学期4月统测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，集合，若，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数在复平面里位于（????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（????）
A．1 B． C． D．
4．已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1:4，当棱台的高为2，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为（????）
A． B． C． D．
5．已知椭圆与抛物线，椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为（???）
A． B． C． D．
6．已知角满足，，则（????）
A． B． C． D．
7．下列结论正确的是（????）
A．若数列的前项和，则数列为等差数列
B．若数列为等比数列，且前项和，则
C．若数列为单调递增的等比数列，则公比
D．若是不全相等的非零实数，且成等差数列，则能构成等差数列
8．已知函数，它的两个相邻的极值点之间的距离为．若先将函数的图像向左平移个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则在上的零点个数为（????）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、多选题
9．下列说法正确的是（????）
A．事件与事件相互独立，且，，则
B．样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11
C．某分层抽样有层，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，则总方差为
D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与点的残差相等，则
10．已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（???）
A．
B．是奇函数
C．
D．不等式的解集是
11．已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（????）
A．
B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分
C．当时，三棱锥的外接球的体积为
D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为
三、填空题
12．已知等差数列的第5项是的展开式中的常数项，则该数列的前9项和.
13．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则．
14．项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为．
四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A的大小；
(2)若，的平分线交于点D，且，求的面积．
16．人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：
软件功能
视频创作
图像修复
语言翻译
智绘设计
大学生人数
假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.
(1)从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小.
（结论不要求证明）
17．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积.
18．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且.
参考数据：.
19．已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于轴对称.设点的坐标为，