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湖北省楚天协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（???）
A． B． C． D．
2．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（???）
A． B．9 C． D．12
3．已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（???）
A．21 B．20 C．19 D．18
4．点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（???）
A． B． C． D．
5．若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（???）
A． B．或
C． D．或
6．已知m，且，则下列结论错误的是（???）
A． B．
C． D．若，则
7．已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（???）
A．10 B．11 C．12 D．12或13
8．设，，，则a、b、c的大小关系为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线，圆，则下列命题正确的有（???）
A．直线l过定点
B．若直线l过C点，则
C．存在实数t，使得直线l与圆C相切
D．若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为
10．对任意实数x，有.则下列结论正确的是（???）
A． B．（，1，…，9）的最大值为
C． D．
11．已知函数（）存在两个极值点，（），且，.设的零点个数为m，方程的实根个数为n，则（???）
A． B．n的取值为2、3、4
C． D．mn的取值为3、6、9
三、填空题
12．已知圆和圆，则两圆的公共弦长为.
13．某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为.（用数字作答）
14．已知且，集合和集合，若，则实数a的取值范围为.
四、解答题
15．已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列.
(1)求的值.
(2)记，求被除的余数.
16．已知数列满足，（）.
(1)证明：数列是等比数列.
(2)设，求.
17．已知函数，
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围.
18．已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和.
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程.
(2)求证：为定值.
(3)求面积的最小值.
19．已知函数.
(1)证明：当时，.
(2)设，令.
（ⅰ）讨论的单调性.
（ⅱ）若存在两个极值点，（），证明：.
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《湖北省楚天协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
B
D
A
C
D
AB
BCD
题号
11
答案
AD
1．C
【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求.
【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，
所以直线的斜率为，
又因为线段的中点为，所以直线的方程为，
整理可得.
故选：C.
2．B
【分析】由离心率的定义即可求解.
【详解】由题意可知：，
所以，
解得：，
故选：B
3．A
【分析】根据等差数列项的性质结合求和公式及通项公式计算求解.
【详解】因为为等差数列的前n项和，设公差为，
所以，，即得，
所以，所以，
则.
故选：A.
4．B
【分析】求导，确定导函数值域，结合倾斜角与斜率的变化关系进而可求解.
【详解】由，
可得：，
即，
结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为，
故选：B
5．D
【分析】根据双曲线的渐近线的对称性，求出渐近线的倾斜角，建立方程求解即得.
【详解】因两渐近线的夹角为，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为或，即得或，解得或..
故选：D.
6．A
【分析】由组合数、阶乘的计算