大通县2025届高三第四次模拟考试数学
试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名?考生号?考场号?座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知双曲线离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据可得，再根据双曲线的几何性质可得结果.
【详解】因，所以，
由双曲线的几何性质可得渐近线方程为：，
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线，属于基础题.
2.已知集合，则的真子集的个数为（）
A.3 B.4 C.7 D.15
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象确定交点个数，得出交集中元素个数，利用公式求出真子集个数.
【详解】因为的对称轴为，顶点为，且过点,
当时，上的点为，
作，的图象，如图，
由图可知，的图象与抛物线有4个不同的交点，
则有4个元素，从而的真子集的个数为.
故选：D
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
四?解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤．
3.若函数的图象关于直线对称，且存在唯一的极值点，则称为“金字塔函数”．
（1）请判断函数否为“金字塔函数”．（无需说明理由）
（2）证明：当时，函数恒为“金字塔函数”．
（3）已知函数为“金字塔函数”，求a的取值范围．
【答案】（1）不是“金字塔函数”；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据定义只需判断是否成立，即可得判断；
（2）根据函数新定义，判断否成立并利用导数研究极值点，即可证；
（3）利用对称性得到，则，再应用导数研究的极值点，即可得参数范围.
【小问1详解】
，
显然不关于对称，故不是金字塔函数；
【小问2详解】
因为，所以，
所以图象关于直线对称，，
因为，，所以得，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则存在唯一的极值点1，故为“金字塔函数”.
【小问3详解】
因为为“金字塔函数”，所以，
所以，
整理得对恒成立，则，得，
所以，则，
令，则，当且仅当时取等号，
当时，，则单调递增，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则存在唯一的极值点1
当时，令，则在定义域上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，上单调递增，
所以，
对于且，则，故，所以，
当时，，若，则，
当时，，若，则，
所以存在两个零点，
当时，当时，当时，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
由且，得，
当时，当时，
则必存在唯一的，使得，必存在唯一的，使得，
所以在、上单调递减，在、上单调递增，则有3个极值点，不合题意
综上，a的取值范围是.