2025届高三信息卷校本考试（二）
数学科试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1设集合，，若，则（）
A. B.0 C.1 D.或0
2.已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点坐标分别为、，则为（）
A. B. C. D.
3.已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
4.镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（）
A.6m B.5m C.4m D.3m
5.如图是函数的图象，则的值为（）
A. B.1 C.2 D.3
6.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（）
A. B. C. D.
7.二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（）
A.种 B.种 C.种 D.种
8.设，其中，则的最小值为（????）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分．
9.已知空间中异面直线所成角为，若过空间中某点A的直线与所成的角都为，则（）
A.满足直线有且只有1条 B.满足的直线有且只有1条
C.满足的直线有且只有1条 D.
10.设函数，则（）
A.当时，的图象关于点对称
B.当时，方程有个实根
C.当时，是极大值点
D.存在实数，恒成立
11.若，满足且的点构成的区域记为.满足且的点构成的区域记为，则（）
A.的面积为16 B.的周长为
C.的面积为 D.的周长为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12.若，则的最小值为___________.
13.函数的极小值点为__________.
14.“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.在四边形中，，.
（1）若，求；
（2）若，求.
16.如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求二面角的余弦值．
17.某工厂质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收.方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验.若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收.假设拟购进的这批原料，合格率为，并用p作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担.
（1）若，记方案二中所需检验费用为随机变量X，求X的分布列；
（2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由.
18.已知双曲线方程为1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·0，|PF1||PF2|＝6．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点F2作直线交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．
19.已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）当时，判断函数在区间上的单调性；
（2）令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（3）求证：当时，.