第４章向量代数与空间解析几何习题解答
习题４、１
一、计算题与证明题
1、已知,,，并且、计算、
解：因为,，，并且
所以与同向,且与反向
因此,，
所以
2、已知，，求、
解:(1)
（2)
得
所以
３、设力作用在点,求力对点得力矩得大小、
解：因为，
所以
力矩
所以,力矩得大小为
4、已知向量与共线,且满足,求向量得坐标、
解:设得坐标为,又
则(1)
又与共线,则
即
所以
即（2)
又与共线,与夹角为或
整理得（3)
联立解出向量得坐标为
5、用向量方法证明，若一个四边形得对角线互相平
分，则该四边形为平行四边形、
证明:如图所示，因为平行四边形得对角线
互相平分,则有
由矢量合成得三角形法则有
所以
即平行且等于
四边形就就是平行四边形
6、已知点,求线段得中垂面得方程、
解:因为，
中垂面上得点到得距离相等，设动点坐标为,则由得
化简得
这就就就是线段得中垂面得方程。
7、向量,,具有相同得模，且两两所成得角相等,若,得坐标分别为,求向量得坐标、
解:且她们两两所成得角相等,设为
则有
则
设向量得坐标为
则（1)
（2)
所以(３)
联立（1)、（2)、(3)求出或
所以向量得坐标为或
8、已知点,,,,
求以，,为邻边组成得平行六面体得体积、
求三棱锥得体积、
求得面积、
求点到平面得距离、
解:因为,,,
所以
（1）就就是以她们为邻边得平行六面体得体积
(2)由立体几何中知道,四面体(三棱锥)得体积
(３)因为,
所以,这就就是平行四边形得面积
因此□
（4)设点到平面得距离为,由立体几何使得三棱锥得体积
所以
习题４、2
一、计算题与证明题
１、求经过点和且与坐标平面垂直得平面得方程、
解:与平面垂直得平面平行于轴,方程为
(１)
把点和点代入上式得
(2)
(3）
由(2)，(3)得,
代入（1)得
消去得所求得平面方程为
2、求到两平面和距离相等得点得轨迹方程、
解;设动点为,由点到平面得距离公式得
所以
3、已知原点到平面得距离为120,且在三个坐标轴上得截距之比为，求得方程、
解:设截距得比例系数为，则该平面得截距式方程为
化成一般式为
又因点到平面得距离为1２0,则有
求出
所以,所求平面方程为
４、若点在平面上得投影为,求平面得方程、
解:依题意,设平面得法矢为
代入平面得点法式方程为
整理得所求平面方程为
5、已知两平面与平面相互垂直,求得值、
解:两平面得法矢分别为,,由⊥,得
求出
6、已知四点,,,，求三棱锥中面上得高、
解：已知四点,则
由为邻边构成得平行六面体得体积为
由立体几何可知,三棱锥得体积为
设到平面得高为
则有
所以
又
所以,
因此，
7、已知点在轴上且到平面得距离为7,求点得坐标、
解:在轴上,故设得坐标为，由点到平面得距离公式,得
所以
则
那么点得坐标为
8、已知点、在轴上且到点与到平面得距离相等,求点得坐标。
解：在轴上,故设得坐标为,由两点得距离公式和点到平面得距离公式得
化简得
因为
方程无实数根,所以要满足题设条件得点不存在。
习题4、３
一计算题与证明题
1、求经过点且与直线和都平行得平面得方程、
解：两已知直线得方向矢分别为,平面与直线平行,则平面得法矢与直线垂直
由⊥,有(1)
由⊥，有(2)
联立(1），(2)求得,只有
又因为平面经过点,代入平面一般方程得
所以
故所求平面方程,即,也就就就是平面。
２、求通过点P(１,０,-2),而与平面3ｘ-y+2z-1=0平行且与直线相交得直线得方程、
解:设所求直线得方向矢为，
直线与平面平行，则⊥,有
(1)
直线与直线相交,即共面
则有
所以(２)
由(1),(２)得
，即
取,,,得求作得直线方程为
3、求通过点)与直线