婺源县2023－2024学年上学期期末质量监测
九年级数学试卷
（考试时间：120分钟试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）．
1.下列方程中，是一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
答案：B
2.二次函数的图象的顶点坐标是（）
A. B. C. D.
答案：A
3.将如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的是（）
A. B. C. D.
答案：B
4.在如图所示的电路图中，若闭合、、、中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（）．
A. B. C. D.
答案：C
5.把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（）
A. B. C. D.
答案：D
6.已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（）．
A. B.
C. D.
答案：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.抛物线的开口______．（填“向上”或“向下”）
答案：向下
8.点关于原点对称的点的坐标是________．
答案：
9.某校九（2）班在体育考试中全班所有学生的得分情况如下表所示：
分数段（分）
30~39
40~49
50~59
60
人数
1
5
9
25
从九（2）班的学生中随机抽取一人，恰好是获得60分的学生的概率是_______．
答案：
10.已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________．
答案：1
11.《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是________________．
答案：
12.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且A(0，3)、B(5，3)，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为_______．
答案：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13.解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），
（2），
【小问1详解】
解：
两边直接开平方得，
所以，，
【小问2详解】
解：
∴，
∴，
14.如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合．
（1）写出它的旋转中心；
（2）旋转角至少是多少度？
（3）______（填“＞”或“＝”或“＜”）．
答案：（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
解：逆时针旋转后能够与重合：旋转中心是点．
【小问2详解】
逆时针旋转后能够与重合：旋转角至少是；
【小问3详解】
∵正方形，
∴，
由旋转可得：，
∴．
15.二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
答案：（1），；（2）或；（3）
解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
∴，．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或．
（3）由图象可知，时，方程无实数根．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．
16.如图，羊年春节到了，小明亲手制作了3张一样的卡片，在每张卡片上分别写上“新”“年”“好”三个字，并随机放入一个不透明的信封中，然后让小芳分三次从信封中摸3张卡片每次摸1张，摸出不放回．
小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是多少？
请通过画树状图或列表，求小芳先后抽取的3张卡片分别是“新年好”的概率．
答案：（1）；（2）.
解：∵共有张大小相同的卡片，在每张卡片上分别写上“新”、“年”、“好”三个字，
∴小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是：；
画树状图得：
∵共有种等可能的结果，小芳先后抽取的张卡片恰好是“新年好”的有种情况，
∴小芳先后抽取的张卡片恰好是“新年好”的概率为：．
17.如图，是的直径，平行四边形的一边在直径上，点在上．
（1）如图1，当点在上时，请你仅用无刻度的直尺作于；
（2）如图2，当点在内时，请你仅用无刻度的直尺作于．
答案：（1）见解析