2025年普通高等学校招生演练考试（一）
高三数学
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量，.若，则的值为（）
A.1 B. C. D.
4已知，，则（）
A. B. C. D.
5.如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（）
A. B.
C. D.与的大小关系不确定
6.已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若函数的两个零点分别为和，则（???）
A. B. C. D.
8.已知是定义在上增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（）
A.4 B.3 C.2 D.1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的命题是（）
A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望
C.若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
D.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是.
10.若实数满足，则（）
A.
B.
C.
D
11.如图，在直三棱柱的两条棱上分别取点，使得，且直线与直线之间的距离均为2，分别过直线作垂直于该三棱柱底面的截面，得到n个四棱柱，若该三棱柱的高为1，记，，则（）
A.
B.
C.第j个四棱柱的体积为
D.前j个四棱柱的体积之和为
三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有___________种不同的停放方法.
13.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则_____．
14.函数的定义域为，若满足：①在上是单调函数，
②存在使得在上的值域为,那么函数为“优美函数”.若函数是“优美函数”，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.为了响应国家“双减”政策，某高中将周六作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下列联表：
成绩有进步
成绩没有进步
合计
参加周六到校自主自习
55
20
75
未参加周六到校自主自习
30
45
75
合计
85
65
150
（1）依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联?
（2）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人.若从这10人中随机抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望.
附：，.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
16.已知数列满足，.
（1）写出，，；
（2）若，求数列的前项和．
17.已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）求单调区间；
（3）若，且，证明：．
18.过定点的动圆始终与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程，
（2）过点的直线与曲线C交于两点，是曲线的两条切线，是切点.