专题21.5一元二次方程组根与系数的关系
教学目标
掌握根与系数的关系并能够熟练运用其求值。
掌握根与系数的关系的拓展式子，并能够熟练应用其求相关式子的值。
能综合应用根与系数的关系的所有式子解决相应的问题。
教学重难点
重点
（1）根与系数的关系的基本式子；
（2）根与系数的关系的变形拓展式；
2.难点
（1）根与系数的关系的变形拓展式的求值；
（2）利用根与系数的关系求代数式的值；
（3）利用根与系数的关系求方程中的位置参数。
知识点01根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系：
由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是
与。由此可求出：
①；②。
【即学即练1】
1．设一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则下列选项正确的是（）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝﹣2
C．x1x2=?12
【即学即练2】
2．已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（）
A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030
【即学即练3】
3．已知x＝2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则方程的另一个根为（）
A．﹣5 B．1 C．2 D．﹣1
知识点02跟与次数的关系的变形拓展
根与系数的关系的推广应用：
①；②；
③；④；
⑤。
⑥。
【即学即练1】
4．设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x1
A．﹣2 B．10 C．2 D．﹣10
【即学即练2】
5．已知a，b是一元二次方程2x2﹣4x＝3的两个根，则a2b+ab2的值是（）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6
【即学即练3】
6．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5
【即学即练4】
7．已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式3x
A．4 B．5 C．2 D．6
【即学即练5】
8．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则nm
A．52 B．?132 C．1
题型01利用根与系数的关系求两个的和与积
【典例1】若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则α+β＝（）
A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10
【变式1】已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【变式2】若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则（）
A．x1+x2＝﹣2 B．x1+x2＝2
C．x1x2＝3 D．x
【变式3】若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（）
A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023
题型02利用根与系数的关系求变形拓展式子的值
对式子进行运算变形，最终用x1+x2，x1·x2来表示，在带入求值。
【典例1】已知x1和x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x1
A．6 B．2 C．﹣4 D．3
【变式1】若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则x12x2+
【变式2】若x1，x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则1x
A．?35 B．35 C．5
【变式3】已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则βα
A．?229 B．229 C．?
【变式4】方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（）
A．﹣33 B．15 C．﹣28 D．﹣21
【变式5】设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则x1
A．3 B．5 C．3 D．5
【变式6】已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型03利用根与系数的关系求代数式的值
对式子变形，通常把高次方通过方程降次处理，最后变形为两根之和与两个之积的形式再带入求值。
【典例1】设m，n分别为一元二次方程x2+2