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期末复习专题02第六章解三角形及其应用
内容导图
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考点清单总结
考点清单总结
考点清单1余弦定理
1.余弦定理的内容
余弦
定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2=b2+c2-2bccosA，
b2=c2+a2-2cacosB，
c2=a2+b2-2abcosC
推论
cosA=b2
cosB=c2
cosC=a
2.解三角形定义：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
考点清单2正弦定理
1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC=2R
2.正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.
(2)sinA=a2R，sinB=b2R，sin
(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.?
(4)a+b+
3.判断三角形解的个数的方法
(1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数.
(2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
A为锐角
ab
一解
一解
一解
a=b
无解
无解
一解
ab
无解
无解
absinA
两解
a=bsinA
一解
absinA
无解
考点清单3判断三角形的形状
判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)通过变形得到边(或角)的关系后，如果等式两侧或同侧有公因式，注意不要轻易约分，应先移项再提取公因式，以免漏解.
(3)常见的特殊三角形有正三角形、等腰三角形、直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
考点清单4三角形面积公式
1.三角形的面积公式：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S=?12absinC=12bcsinA=12casin
2.△ABC中的常用结论
(1)A+B+C=180°，
sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC.?
(2)大边对大角，即ab?AB?sinAsinB.
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
考点清单5三角形的中线和角平分线
1.三角形中线的应用
（1）中线长定理：在?ABC中，AD是边BC上的中线，则AB
【思路点拨】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
（2）向量法：AD
【思路点拨】适用于已知中线求面积（已知BDCD
2.三角形角平分线的应用
如图，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，
（1）利用角度的倍数关系：∠
（2）内角平分线定理：AD为?ABC的内角∠BAC的平分线，则AB
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。
（3）等面积法：因为S?ABD+S
所以b+cAD=2bccosA2
考点清单6三角形中的最值、范围问题的解题策略
1、定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．
2、构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．
3、求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
4、求解三角形中的最值、范围问题的注意点
（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
（2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
考点题型·巩新知
考点题型·巩新知
考点一正余弦定理解三角形
1．三角形中，则B=（???）
A．30° B．60° C．150° D．120°
2．在中，分别是角的对边，的面积为，，，则（????）
A