2025年罗马尼亚数学奥林匹克（RMOP）模拟试卷：数论组合难题解题技巧与拓展训练

一、数论基础

要求：解答下列数论题目，并给出解题步骤。

1.设p是质数，a和b是整数，且满足a^2+b^2=p。证明：a和b中必有一个是偶数。

2.设a和b是两个正整数，且满足a^2-b^2=1。证明：a+b是奇数。

二、同余性质

要求：解答下列同余题目，并给出解题步骤。

1.设a、b、c是三个整数，且满足a≡b(modc)。证明：a-b是c的倍数。

2.设m和n是两个正整数，且满足m^2≡n^2(mod10)。证明：m≡n(mod10)或m≡-