2025年罗马尼亚数学奥林匹克（RMOP）模拟试卷：数论与组合难题解析与应用

一、数论

要求：解答下列数论问题，并解释你的推理过程。

1.设整数\(a,b,c\)满足\(a^2+b^2=c^2\)，且\(a,b,c\)都是质数。证明：这样的三元组最多只有一个。

2.设\(p\)是一个质数，且\(p\equiv3\pmod{4}\)。证明：\(p\)不可能是一个完全平方数。

二、组合

要求：解答下列组合问题，并解释你的推理过程。

3.在一个4x4的棋盘上，用黑白两种颜色交替地放置棋子，使得每一行和每一列都至少有一个黑棋和一个白棋。求这样的放置方法的总