2025年罗马尼亚数学奥林匹克（RMOP）模拟试卷（数论与组合难题）——高级数论解析策略

一、数论基础

要求：请解答以下数论相关题目，展示你对数论基本概念和性质的理解。

1.设p为质数，证明对于任意整数n，存在整数m，使得p^n-m^2=1。

a.当n=1时，直接给出结论；

b.假设结论对于n=k成立，证明对于n=k+1也成立；

c.根据上述两步，给出完整的证明过程。

2.设a和b是两个正整数，且a≠b，证明gcd(a^2+b^2,ab)=1。

a.假设gcd(a^2+b^2,ab)=d，证明d为质数；

b.证明d不等于a