2025年罗马尼亚数学奥林匹克（RMOP）模拟试卷（数论与组合难题）——数论组合难题解析与解题

一、数论基础

要求：解答下列数论问题，展示解题过程。

1.设正整数n，证明：若n是3的倍数，则n的任意两位数都是3的倍数。

2.已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，且a、b、c互质，证明：a、b、c中必有一个是3的倍数。

3.设正整数n，证明：若n是4的倍数，则n的任意两位数都是4的倍数。

4.已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，且a、b、c互质，证明：a、b、c中必有一个是4的倍数。

5.设正整数n，证明：若n是5的倍数，则n的任意两位数都是5的倍