2025年罗马尼亚数学奥林匹克（RMOP）模拟试卷（数论与组合难题解析精华指南）

一、数论基础

1.设\(n\)为正整数，证明：\(n^2+n\)可被3整除当且仅当\(n\)可被3整除。

2.设\(p\)为素数，证明：\(p^2-p\)可被\(p\)整除。

3.设\(a\)和\(b\)为整数，证明：如果\(a\)和\(b\)同奇同偶，则\(a^2+b^2\)是偶数。

4.设\(p\)为奇素数，证明：\(p^2-1\)可被8整除。

5.设\(a\)和\