2025年罗马尼亚数学奥林匹克（RMOP）数论组合难题模拟试卷解析与拓展

一、数论基础

要求：解答下列数论问题，展示你对数论基本概念和性质的理解。

1.设\(p\)是一个质数，证明\(p^2-p\)是\(p\)的倍数。

2.设\(a\)和\(b\)是两个正整数，且\(a\equivb\pmod{p}\)，其中\(p\)是一个质数。证明\(a^3\equivb^3\pmod{p}\)。

3.设\(a\)和\(b\)是两个正整数，且\(a\)和\(b\)互质。证明\(a^2+b