专题13.3三角形的高线、中线及角平分线
教学目标
掌握三角形的高线及其画法，并能够判断三角形的高线或用高线判断三角形的形状；
掌握三角形的中线及其性质，并能够利用中线解决与面积和周长的相关题目。
掌握三角形的角平分线及其性质，并能够结合高线与中线进行综合应用。
教学重难点
重点
（1）三角形的高线；
（2）三角形的中线；
（3）三角形的角平分线。
2.难点
（1）画钝角三角形的高线及其等面积法的应用；
（2）中线与中线分得的三角形的面积与周长的关系。
知识点01三角形的高
三角形高线的定义：
如图，过三角形的顶点作对边的垂线，顶点与垂足之间的线段是三角形的高线。
BD是△ABC的高BD⊥AC
三角形高的画法：
一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；
二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；
三画：画出垂线段。
锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示：
三角形的垂心：
三角形有3条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
高线与垂心的位置与三角形形状的关系：
锐角三角形的三条高都在三角形内部，垂心在三角形内部。
直角三角形有两条高是三角形的边，垂心在三角形的直角顶点上。
钝角三角形有两条高在三角形外，垂心在三角形外。
【即学即练1】
1．作出三角形的三条高．
【答案】作图见解析．
【解答】解：
如图，AD、BE、CF即为所求．
【即学即练2】
2．如图，在△ABC中，边BC上的高为线段（）
A．AF B．CE C．DB D．AB
【答案】A
【解答】解：△ABC中，边BC上的高为线段AF．
故选：A．
【即学即练3】
3．三角形三条高线所在直线交于三角形外部的是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．都有可能
【答案】B
【解答】解：由题意知，如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形．
故选：B．
【即学即练4】
4．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解答】解：∵三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
∴此三角形是直角三角形．
故选：A．
知识点02三角形的中线
三角形中线的定义：
如图，三角形的顶点与对边中点的连线段叫做三角形的中线。
三角形中线的性质：
①AM是三角形的中线M是BC的中点BM＝CM＝12BC。
②中线平分三角形的面积。即：
③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即：
④三角形有3条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的重心。
【即学即练1】
5．如图，△ABC中，CD为AB边上的中线，点E是CD的中点，连接BE，若△ABC的面积为8，则△BEC的面积是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：∵CD为AB边上的中线，△ABC的面积为8，
∴S△BCD=12S△ABC
∵点E是CD的中点，
∴S△BEC=12S△BCD
所以△BEC的面积为2，
故选：D．
【即学即练2】
6．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（）
A．13cm B．16cm C．19cm D．21cm
【答案】A
【解答】解：由题意得，AB＝AC+3，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB+BD+AD＝AC+3+DC+AD＝16（cm），
则AC+DC+AD＝13（cm），
∴△ACD的周长＝AC+DC+AD＝13（cm），
故选：A．
知识点03三角形的角平分线
三角形角平分线的定义：
如图。三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间
的线段是三角形的角平分线。
三角形角平分线的性质：
①AD是三角形的角平分线∠1＝∠2。
②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即BD:CD。（这两个三角形的高相等）
③三角形有3条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的内心。
【即学即练1】
7．如图所示，若有∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，则下列结论中错误的是（）
A．AD是△ABC的角平分线 B．CE是△ACD的角平分线
C．∠BCE=12∠