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专题1.1二次函数的图象与性质
教学目标
1.通过对实际问题的分析确定函数的解析式,以此为实例理解二次函数的概念
2.用描点法画出二次函数的图象,探索并掌握二次函数的性质
3.会用配方法或根据公式确定二次函数图象的顶点和对称轴
4.学会运用二次函数的性质解决实际问题,初步体会二次函数在日常生活中的应用
教学重难点
教学重点
二次函数的图象绘制与形状特征
二次函数的顶点、对称轴与最值
二次函数的增减性与对称性
教学难点
参数a、b、c对图象的综合影响
知识点01二次函数的概念
1.二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
2.二次函数的特殊形式
1)当b＝0时，y＝ax2＋c（a≠0）
2)当c＝0时，y＝ax2＋bx（a≠0）
3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2（a≠0）
【即学即练】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
知识点02实际问题中的二次函数的表达式
根据实际问题列二次函数表达式的一般步骤
1)审清题意:找出实际问题中的已知量(常量),并分析它们之间的关系,将文字或图形语言转化为数学语言,
2)找等量关系:找到已知量和变量之间的关系,并用等式表示.
3)列二次函数表达式:设出表示变量的字母,把等量关系用含字母的式子替换,并将表达式写成用自变量表示函数的形式.注意自变量的取值范围要使实际问题有意义
【即学即练】据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）
A．y＝42959.2（1+2x） B．y＝42959.2（1﹣x）2
C．y＝42959.2x2 D．y＝42959.2（1+x）2
知识点03二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图象．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
4
…
1
1
2
3
4
1
2
3
4
x
y
x
y
O
O
1
2
1
2
-2
-1
-2
-1
图1
图2
（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图象，如图2所示．
【即学即练】
1.已知二次函数的图象经过点Q（-1，-2），求a的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图象．
2.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图象；
（2）函数、、的图像与函数、、的图象有何异同？
知识点04二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a0
向上
（0，0）
y轴
x0时，y随x增大而增大；
x0时，y随x增大而减小.
当x=0时，y最小=0
y=ax2
a0
向下
（0，0）
y轴
x0时，y随x增大而减小；
x0时，y随x增大而增大.
当x=0时，y最大=0
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
【即学即练】
1.二次函数的图象是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．
2.物线与直线交于点（1，b）．
（1）求a和b的值；
（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．
知识点05二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象和性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
（2）
2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数
图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标