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专题1.1二次函数
教学目标
学生能够准确理解二次函数的概念；
2.熟练掌握根据具体实际问题，构建简单的二次函数模型，确定函数关系式，且能依据实际意义正确确定自变量的取值范围；
3.学会运用待定系数法求解二次函数的解析式，提升数学运算与函数表达式确定的能力；
4.积极感受数学与现实生活的紧密联系，充分认识数学在解决实际问题中的重要价值，从而激发学习数学的浓厚兴趣和应用数学的强烈意识。
教学重难点
1.重点
（1）y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，以及各系数的意义；
（2）根据实际问题准确列出函数关系式；
（3）二次函数值。
2.难点
（1）能够从实际情境中准确提炼出数学问题，并构建二次函数模型；
（2）实际问题中自变量取值范围。
知识点01二次函数的相关概念
二次函数的概念:
一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2；
③二次项系数不为0．
二次函数的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项
注意：二次函数除了一般式y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外，
还有y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c。
【即学即练】
1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（???）
A．y=3x?1 B．y=?
C．y=1x2
2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）在圆的面积公式S=πr2中，s与r
A．一次函数关系 B．正比例函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
知识点02二次函数的值
根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。
【即学即练】
1．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）当x=1时，y=2x2?1
A．0 B．1 C．2 D．3
题型01列二次函数关系式
【典例1】（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为30?m和20?m，如果长和宽各增加了x?m，则扩充后绿地的面积y与x
A．y=x2+600
C．y=x2+50x
【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=?2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（???）
A．w=x?30?2x+80B．w=x?2x+80C．w=30
【变式2】（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．
【变式3】（22-23七年级下·山东枣庄·期中）长方形的周长为30cm，其中一边长为xcm（其中0x15），面积为ycm2，则这样的长方形中y与
题型02二次函数的判断
【典例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列函数是二次函数的是（???）
A．y=ax2+bx+c
C．y=3x2+
【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（???）
A．y=x2+
C．y=ax2+bx+c
【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数属于二次函数的是（???）
A．y=x+1 B．y=
C．y=3x D．y=a
【变式3】（2025·上海·模拟预测）下列函数是二次函数的是（???）
A．y=1x2 B．y=x2?
题型03利用二次函数的概念含参数取值范围
【典例3】（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数y=(m?1)xm+1+5是关于
A．?1 B．1 C．1或?1 D．2
【变式1】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数y=mxm?2?m+1x+2
【变式2】（22-23九年级上·全国·单元测试）若y=m+2xm2?2+m?2
【变式3】（23-24九年级上·山东济南·期中）若抛物线y=(m?3)xm2?5m+8+2x?3是关于x
A．3 B．?2 C．2 D．2或3
题型04二次函数的一般形式
【典例4】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数y=xx?1+3x化为一般形式后，正确的是（
A．y=x2?x+3
C．y=x2?2x
【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数y=2x2?1
A．2，0，?1 B．2，2，?1 C．2，2，1 D．2