第4课时基本不等式
[考试要求]1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．3．掌握基本不等式在实际生活中的应用．
考点一基本不等式的内容及求最值
1．基本不等式：ab
(1)基本不等式成立的条件：a0，b0．
(2)等号成立的条件：当且仅当___时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，_叫做正数a，b的几何平均数．
2．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥___(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤a+b22(a，b∈R)，当且仅当
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_______．
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值．
提醒：使用基本不等式及其变形求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
直接法求最值
[典例1]已知函数y＝-3x2+2x-4x(x0)
A．2＋43 B．2
C．2－43 D．43
[听课记录]
反思领悟对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式a+b2≥ab成立的前提条件为a
巩固迁移1(2024·柳州月考)已知x＞0，y＞0，xy＝4，则x＋2y的最小值为()
A．4 B．42
C．6 D．82
配凑法求最值
[典例2](2025·安顺模拟)已知0＜x＜2，则3x(2－x)的最大值是()
A．－3 B．3
C．1 D．6
[听课记录]
反思领悟配凑法的关键是配凑出和为常数(积有最值)(如本例)，积为常数(和有最值)的形式，再利用基本不等式求解．
巩固迁移2(人教A版必修第一册P48习题2.2T1改编)已知函数y＝x＋4x-2(x2)，则此函数的最小值等于(
A．4xx-2
C．4 D．6
常数代换法求最值
[典例3]已知正数a，b满足8b+4a＝1，则8a＋b
A．54 B．56
C．72 D．81
[听课记录]
反思领悟本例解题的关键是利用8a＋b与1的积为自身的性质，通过构造64a
巩固迁移3已知a，b为正实数，且满足a＋2b＝1，则2a+1b
A．42 B．4＋22
C．8 D．6
消元法求最值
[典例4]已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
[听课记录]
反思领悟本例中有两个变量，可利用x＋3y＋xy＝9消去x(或y)凑出“积为常数”，然后利用基本不等式求最值．
巩固迁移4若a0，b0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为()
A．9 B．6