第10课时函数的零点与方程的解
[考试要求]1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．
考点一判定函数零点所在区间
1．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的___叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系
(3)函数零点存在定理
2．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
提醒：(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
(2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示，所以“f(a)·f(b)0”是“y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件．
[典例1](1)(2025·湖北荆州模拟)若x0是方程12x＝x13的根，则
A．23，1
C．13，1
(2)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝()
A．－2 B．－1
C．0 D．1
[听课记录]
反思领悟本例(1)解决的关键是将方程根所在的区间转化为函数f(x)＝12x－x13的零点所在区间，利用零点存在定理对所给选项一一验证即可．本例(2)根据“三个等价关系”解答：①f(x)＝e－x－2x－5的零点就是e－x－2x－5＝0的根，即y＝e－x与y＝2x＋5图象的交点；②画出函数y＝e－x＝1ex和y＝2x＋5的图象，初步判断图象交点所在区间(定性)
巩固迁移1(1)(2025·湖南长沙模拟)设函数f(x)＝13x－lnx，则函数y＝f(x)(
A．在区间1e，1，(1
B．在区间1e，1，(1
C．在区间1e，1内有零点，在区间(1
D．在区间1e，1内无零点，在区间(1
(2)用二分法求函数f(x)＝log3(2x＋4)－1x+2在区间(－1，0)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1．(
A．2 B．3
C．4 D．5
考点二确定函数零点个数
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点；
(2)用零点存在定理再结合函数的单调性确定零点个数；
(3)利用函数图象的交点个数判断．
[典例2](1)函数f(x)＝x2+x-2
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点个数为________．
[听课记录]
反思领悟在本例(1)中，可根据零点的定义直接计算函数零点，进而得出零点个数；本例(2)中，求函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点个数，转化为函数y＝3－x2与y＝lnx图象的交点个数，作出图象后观察其交点个数即可．
巩固迁移2已知函数f(x)＝12x，x≤0，log2x，x0，则函数
A．0 B．1
C．2 D．3
考点三函数零点的应用
根据函数零点个数求参数
[典例3](2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax．当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝()
A．－1 B．12
C．1 D．2
反思领悟本例中，解决的关键是根据偶函数图象的特征判定y＝f(x)与y＝g(x)何时恰有一个交点．若