培优训练(七)子数列、新情境、新定义问题
1．(2025·山东潍坊模拟)设Sn是数列an的前n项和，已知a1＝1，an＋1＝1
(1)证明：a2n
(2)求满足S2n0的所有正整数n．
2．已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在同一列，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3．
第一列
第二列
第三列
第一行
1
5
2
第二行
4
3
10
第三行
9
8
20
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝[lgbn]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg2]＝0，[lg98]＝1，求数列{cn}的前100项的和T100．
3．(2025·湖北武汉模拟)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3．设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，所有项的和为Sn．
(1)若a＝2，b＝3，c＝4，求P2，S2；
(2)若Pn≥2024，求正整数n的最小值；
(3)是否存在数列a，b，ca，b，
4．定义：已知数列an为有穷数列．①对任意i，j(i，j∈N*，i≤j)，总存在k1∈N*，使得aiaj＝ak1，则称数列an为“乘法封闭数列”；②对任意i，j(i，j∈N*，i≤j)，总存在k2∈N*，使得aiaj＝a
(1)若an＝3n－2(1≤n≤20，n∈N*)，判断数列an是否为“乘法封闭数列”
(2)已知递增数列1，a2，a3，8，为“除法封闭数列”，求a2和a3；
(3)已知数列an是以1为首项的递增数列，共有k项，k≥5，k∈N*，且为“除法封闭数列”，探究：数列an是否为等比数列，若是，请给出证明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列