高级中学名校试卷
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浙东北联盟（ZDB）2024-2025学年高一上学期期中联考（AP班）数学试题
一、单项选择题：每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.用一个半径为的半圆围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为用一个半径为的半圆围成一个圆锥，所以半圆长为，
所以圆锥底面圆的半径为：，
故选：A
2.若两个单位向量的夹角为，则（）
A. B.1 C. D.2
【答案】C
【解析】
故选：C
3.用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于轴，平行于轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】记四边形所对应的原四边形为四边形，
由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形，
因为，四边形为等腰梯形，
所以，
所以，，，
因此，
所以原四边形的周长为.
故选：D
4.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
以为坐标原点，为轴，垂直于方向为，建立平面直角坐标系，
因为，,所以，即，
且所以，
所以，
故选:C.
5.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，．
故该香料收纳罐的容积为
故选：B
6.在中，角的对边分别为，其面积，，则边长为（）
A.1 B. C. D.2
【答案】D
【解析】因为，又，
所以，即，因为为三角形内角，所以，又，所以；由得，即，所以，即，
所以，因此，故，即，
因为，所以.
故选：D
7.已知点在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段的长的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】点在棱长为2的正方体表面运动，且，
则点的轨迹是线段的中垂面截正方体所得截面多边形，
分别取棱，，，，，的中点，，，，，，
则，
因此四边形均为棱长为的菱形，所以
平面，因此点，，，，，在线段的中垂面上，点的轨迹是六边形，如图，
当点在线段上时，若点为线段中点，有，
于是点为线段上任意一点，，
当点在线段上时，为钝角，
则，即，
当点在线段上时，，
为钝角，则，即，
当点在线段上时，由，
边上的高为，此时，
由对称性知，当点在折线上时，，
所以线段的长的取值范围是．
故选：D．
8.水平放置的正四棱柱（底面边长为）形容器内放入两个大小不等的铁球，其中较大的铁球与容器的底部和两个侧面相切，较小的铁球与该球外切，并且与容器的另外两个侧面相切，现往容器里注水，水面没过较大铁球后，继续注水，当水面恰好与较小铁球相切时，测得水面的高度为a，则两个铁球的半径之和为（容器壁厚度忽略不计）（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得两个球外切且又分别与边长为的正方体的三个面相切，如图（1），
如图（2），
作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，
过点，分别作的垂线，垂足分别为，
设球的半径为，球的半径为，
由，
得，，
∴，∴，
即两个铁球的半径之和为.
故选：C.
二、多选题：每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9.已知向量，则下列命题正确的是（）
A.的最大值为
B.若，则
C.若是与垂直的单位向量，则
D.当取得最大值时，
【答案】AD
【解析】∵，∴是单位向量，
设，，则，
当，方向相反，即时取等号，
∴的最大值为，故A正确；
等价于，即，即，∴，故B错误；
，，，不垂直，故Ｃ错误；
，其中，，
故当时，取得最大值，
此时，故D正确；
故选：AD
10.在中，角所对的边分别为，给出下列命题，其中正确的命题为（）
A.若，则
B.若，则满足条件的有两个
C.若，则是钝角三角形
D.存在，使得成立
【答案】ABC
【解析】对于A，若，则，由正弦定理可得，故A正确；
对于B，若，则，因此满足条件的有两个，故B正确；
对于C，若，则，所以，，所以，所以是钝角三角形，故C正确；
D.由于当时，，所以，故D不正确.
故选：ABC.