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2024北京大峪中学高一（下）期中
数学
（满分：150分；时间：120分钟；命题人：李妍玫；审核人：王锋）
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．函数的最小正周期为（）
A． B． C． D．
2．若，且，则是（）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．的值为（）
A． B． C． D．
4．已知向量，，且，则实数m的值为（）
A．―2或4 B．4 C．2 D．―2
5．比较、、的大小关系（）
A． B．
C． D．
6．函数的定义域为（）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．已知，则（）
A． B． C． D．
9．已知实数，，“，”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示．现已知（），则该函数的最小值为（）
A． B． C．1 D．2
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）
11．已知是第二象限角，且，则______．
12．设向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量为______．
13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是______，弧田的面积是______．
14．当时，函数的最小值为______．
15．已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论：
①在上的图象有且仅有3个最低点；
②在至多有7个零点；
③在单调递增；
④的取值范围是；
则正确的结论是______．（填写序号）
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（13分）已知是锐角，且．
（1）化简；
（2）若，求的值，
17．（13分）已知，求下列代数式的值：
（1）；
（2）
18．（15分）已知函数．
（1）利用五点法画函数在内的图象；
（2）已知函数（），且的最小正周期为，求的单调递增区间；
19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点在单位圆上，（）．
（1）求的值；
（2）若四边形OADB是平行四边形，求点D的坐标；
（3）若，求的值．
20．（15分）已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
条件①：函数两条对称轴之间最短距离为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为1．
（1）求的解析式及最小值点；
（2）已知，若函数在区间上恰好有两个零点，求a的取值范围．
（3）若函数在区间（）上有且仅有2条对称轴，求t的取值范围．
21．（15分）对于集合和常数，定义：
为集合相对的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
（2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
（3）若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1．B2．C3．A4．A5．D6．C7．C8．C9．A10．C
二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分．
11．12．13．14．15．②③④
注：第13题第一个空2分，第二个空3分．
第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，选对1个得2分，选对2个得3分．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分
16．（本小题13分）
解：（1）
（每个诱导公式化简1分，最后结果2分）
（2）∵
∵
且为锐角
∴
∴
17．（本小题13分）
解：（1）当时，不成立，∴
∴
所以
（公式1分，答案1分）
（2）原式
（原式除以2分，上下同除2分，答案2分）
18．（本小题15分）
（1）列表如下：
x
0
0
2
0
―2
0
图象如下：
（取点正确1分，闭区间1分）
（2）因为
因为，所以，
即
因为
解得
所以的单调递增区间为（）．
19．（本小题14分）
（1）由点，点