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上海市静安区2024-2025学年高三下学期期中教学质量调研（高考二模）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知全集为，集合，则．
2．不等式的解集为．
3．椭圆的离心率是．
4．已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．
5．已知，则．（请用含的代数式表达）
6．已知，则sin2x的值为.
7．设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为．
8．设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为．
9．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为m．
10．已知，且，则的最小值是．
11．从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为．
12．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为．
二、单选题
13．“”是“一元二次不等式的解集为R”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（???）
A．且 B．且 C．且 D．且
15．设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（????）.
A．与 B．与 C．与 D．与
16．设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为（???）
A． B． C． D．以上答案均不对
三、解答题
17．已知向量、，记．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值．
18．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
视力数据
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
人数
2
2
2
1
1
（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；
（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.
19．如图，在正三棱柱中，，延长CB至D，使，是线段的中点．
(1)求证：
①直线平面；
②；
(2)求二面角的正弦值．
20．如图，在直角坐标平面xOy中，中（）为正三角形，且满足，．
(1)求点的横坐标关于正整数n的表达式；
(2)求证：点，，…，…在抛物线：上；
(3)过（2）中抛物线：的焦点F作两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值．
21．若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线．
(1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明）
(2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条；
(3)试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由．
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《上海市静安区2024-2025学年高三下学期期中教学质量调研（高考二模）数学试卷》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
B
D
C
A
1．或
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】因为集合，
所以或.
故答案为：或.
2．/.
【分析】由分式不等式的解法直接求