2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（二）
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（）
A B. C. D.
2.若的虚部为，则（）
A. B. C.2 D.6
3.已知等差数列满足，，则（）
A.1 B. C.4 D.8
4.已知向量，，，若，则（）
A.18 B.2 C.-2 D.-18
5.据典籍《周礼?春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶．若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“商”和“羽”之间恰有两个音阶，则可以排成不同音序的种数是（）
A.12 B.20 C.24 D.32
6.已知函数在区间上单调，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
7.已知椭圆左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（）
A. B. C. D.
8.若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上的奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.某电影公司为了解某部电影的宣传对票房的影响，在某市随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：万元）和销售额（单位：万元）的数据如下：
（万元）
5
6
7
8
9
（万元）
55
60
75
80
由统计数据知关于的经验回归方程为，则（）
A.变量与负相关
B.当时，残差为（残差观测值预测值）
C.当时，销售额约为94万元
D.
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（）
A.若点关于原点对称点为点，且，则
B.的右顶点到渐近线的距离为
C.内切圆的圆心在直线上
D.不存在点，使得点关于点对称的点在上
11.在棱长为4的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是棱上的动点（包含端点），则（）
A.当点是棱的中点时，过点且与平面平行的平面截该正方体所得截面图形的面积为
B.若过点，，的平面截该正方体所得截面与交于点，则
C.过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形的面积的最大值为
D.存在点，使得过点，，的平面截该正方体所得截面图形为五边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______．
①的定义域为；②；③在区间，上单调递减．
13.在正四棱台中，高为，，，则该正四棱台的体积为______．
14.若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.记数列的前项和为，已知．
（1）证明：数列等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．
16.某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，，．只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，，．第二次光刻的良品才是合格品．
（1）若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中任取一枚，求该芯片是良品的概率；
（2）甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望．
17.如图，在中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）．
（1）若为棱的中点，证明：平面；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求点到平面的距离．
18.已知函数．
（1）若，当时，，求取值范围；
（2）若，求的极值；