高州市2025年高考适应性考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,，则（）
A. B. C. D.
2.随机变量，若，则实数的值为（）
A.2 B. C.3 D.4
3.已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（）
A.2 B. C.±2 D.
4.已知向量，，且在方向上的投影向量为，则（）
A. B. C. D.
5.若，则（）
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
7.已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（）
A. B. C. D.
8.已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（）
A.8 B.9 C.10 D.11
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（）
A B.
C.为纯虚数 D.为关于的方程的另一个根
10.已知随机事件，满足，，则下列说法正确的是（）
A.若，相互独立，则 B.若，相互独立，则
C若，则 D.若，则
11.抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（）
A. B.若，则直线的斜率为
C.存在直线，使得，，，四点共圆 D.面积的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是________.（写出一个满足条件的函数即可）
13.已知，为椭圆的左、右焦点，点，在上，若等边三角形的重心为，则的离心率为________.
14.两个不透明的袋子中均装有1个红球，2个白球，2个黑球（除颜色外，质地大小均相同），从两个袋子中同时取出1个球（取出的球不放回袋中），若两球颜色相同，则记1分，否则记0分，则取球5次后，总得分大于2的概率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.记内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长．
16.已知函数，.
（1）若，求图象在点处的切线方程；
（2）若函数在上的最小值是，求的值.
17.如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
18.已知双曲线的实轴长为，离心率为.
（1）求双曲线的标准方程：
（2）过点直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点.
（i）证明：直线斜率为定值；
（ii）记，分别为，的面积，求的取值范围.
19.若对于任意整数，，均有，则称数列为数列.
（1）设各项均为正整数且公差不为0的等差数列为数列，，求；
（2）证明：当时，数列为数列；
（3）证明：若数列的各项均为正数，当时（其中，为常数），数列不是数列.