东三省名校联盟2025届高三《最后一卷》联合模拟考试
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名?座位号和准考证号填写在答题卡上，并认真阅读答题卡上的注意事项.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解集合，再求出其在全集下的补集，最后求出与集合的交集.
【详解】解不等式，得到集合或.?
由于?集合或.??所以.?
已知，，所以，即.?
.
故选：B.
2.等比数列的前项和为，且，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
因此，.
故选：C.
3.已知，且，则向量与的夹角是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件得出，结合平面向量数量积的运算性质和定义可求出的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出向量与的夹角.
【详解】因为，且，则
，所以，
因为，故，即向量与的夹角是.
故选：A.
4.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角差的正切公式求出的值，再利用三角函数的二倍角公式及同角三角函数的基本关系求出的值.
【详解】已知得：
可得：
解得：?
.
∴，
?.
故选：A.
5.在中，已知是边上的中线，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两次余弦定理即可求解.
【详解】
由余弦定理得：，
再由余弦定理得：，
则，
故选：B
6.设为任意给定的大于1的整数，每个正整数均可以唯一地表示成，我们将.称为的进制表示.例如：由可知，2024的三进制表示为.那么，2025的二进制可表示为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义即可求解.
【详解】根据定义，所以2025的二进制可表示为.
故选：C.
7.已知正三棱锥有一个半径为的内切球，则所有这样的正三棱锥中体积最小的一个的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过正三棱锥的截面中相似三角形的关系得出正三棱锥高与底面中心到边的距离的关系，再结合正三棱锥体积公式得到体积关于的表达式，最后利用基本不等式求出体积的最小值.
【详解】已知正三棱锥过侧棱和高作截面，为球心，为切点，为底面正的中心，
设（底面正三角形中心到边的距离），（正三棱锥的高），（斜高）.
因为（相似三角形的对应边成比例），所以.
由可得，由可得.
对进行处理，将第一个式子变形为，代入第二个式子，
化简可得，进一步变形为，即.
设底面正三角形的边长为，根据正三角形的性质，有，那么.
根据正三棱锥体积公式（为底面面积），底面正三角形面积，
则.
对进行变形，.
根据基本不等式,，所以.
把代入体积表达式，可得.
当且仅当，即，时，等号成立，此时有最小值.
故选:D.
8.已知，，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设有，分别构造、、、，利用导数研究在上的单调性，进而判断各项的正误.
【详解】由，即，
A：若且，则，
故，，即在上存在零点且在上递增，
所以在上不单调，则不一定成立，排除；
B：若且，则，
所以上，递增；上，递减；
故在上不单调，则不一定成立，排除；
C：若且，则，即在上递增，
所以，即，排除；
D：若且，则，即在上递增，
所以，即，正确
故选：D
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.2024年奥运会在法国巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织全体学生进行了奥运知识能力竞赛，学生得分在之间，满分100分，现随机调查了200位该校学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图如下，则（）