北京市八一学校2025年高考模拟测试
数学
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.设，则（）
A. B.
C. D.
2.若复数满足，则的虚部为（）
A. B. C. D.
3.已知，则（）
A. B. C. D.
4.函数是
A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2
C.奇函数，且最大值为 D.偶函数，且最大值为
5.已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（）
A. B. C. D.
7.把函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数的图象，则（）
A. B.最小正周期为
C.的图象关于直线对称 D.在上单调递减
8.在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位：）的相对大小，具体关系式为，其中基准值.若声强度为时的声强级为60dB，那么当声强度变为时的声强级约为（）（参考数据：）
A.63dB B.66dB C.72dB D.76dB
9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（）
A. B. C. D.
10.在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（）
A.24 B. C.14 D.
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
11.函数的定义域为______．
12.设，则________；当时，_________．
13.若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是___________.
14.在等腰梯形中，设，，，为中点，则=_____________（用和表示），当______时，最小.
15.已知直线和曲线，给出下列四个结论：
①存在实数和，使直线和曲线没有交点；
②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；
③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；
④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.在中，，，分别为内角，，的对边，且满.
（1）求的大小；
（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.
17.如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过FP的平面交于E，交于Q．
（1）求证：平面PBQ；
（2）若点Q是的中点，且，求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；
（3）在（2）条件下，若平面ABCD上有一点H满足平面，求点H的坐标．
18.某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
（1）当时，记甲型号电视机“星级卖场”数量为，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，比较的大小关系；
（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求的分布列和数学期望；
（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值．（只需写出结论）
19.已知函数，.
（1）当时，
①求曲线在处切线方程；
②求证：在上有唯一极大值点；
（2）若没有零点，求的取值范围.
20.椭圆C：的右顶点为，离心率为
（1）求椭圆C的方程及短轴长；
（2）已知：过定点作直线l交椭圆C于D，E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF中点为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标．
21.已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性