2025年普通高等学校招生全国统一考试
高考模拟调研卷数学（二）
数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
2.“”是“”
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.设向量，若，则（）
A.B.C.D.0
4.已知，则（）
A.B.
C.D.
5.随机投掷一枚质地均匀的骰子，该骰子六个面分别刻有两个1，两个2，两个3共六个数字，若掷出的数字为，则再从数字中随机选取一个数字，则选出的数字为2的概率为（）
A.B.C.D.
6.若，则（）
A.B.C.D.
7.已知等差数列和的前项和分别为，若，则（）
A.B.149C.28D.
8.已知直线与圆相切，则的最大值为（）
A1B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.已知为虚数单位，复数满足，则（）
A.在复平面内对应的点在第一象限
B.的虚部为
C.
D.
10.已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则实数的值可能是（）
A.32B.C.6D.
11.在锐角中，内角对边分别为，若，则下列说法正确的是（）
A.
B.的取值范围为
C.最小值为
D.的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为______.
13.已知是上的奇函数，当时，.若，则的取值范围为______.
14.如图所示，平面五边形由一个直角梯形和一个以为顶角的等腰组成，其中.将沿着AD翻折，在翻折过程中，当四棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的外接球的体积为，则CD的长度为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图，点为平面外一点，面，底面矩形面积为12，外接圆周长为，且.点分别为线段的中点，连接.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16.已知数列的前项和为Sn，且分别满足：，.
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和.
17.近年来某地在经济工作中坚持稳中求进工作总基调，在淘汰落后产能的同时大力发展新质生产力，下图是该地近几年来新型规模以上工业企业生产总值（）的柱状图（单位：亿元），记2017年，2018年，当的年编号（）依次为.
（1）求2017至2022年新型规模以上工业企业生产总值的平均数；
（2）在与中选择合适模型计算关于的回归方程；
（3）若上级领导将在2022，2023，2024，2025，2026这五年中任意抽取3年来研究该地新质生产力发展情况，记为抽到的工业企业的生产总值超过12000亿元的年份数目，并用（2）中回归方程估计，求的分布列和数学期望.
参考数据：
8.46
10198
12705
17.5
20950
3.85
其中，附：经验回归方程中和的最小二乘估计公式为.
18.已知函数.
（1）当时，求函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若有三个极值点，求取值范围.
19.已知双曲线，第一象限中横坐标为2的点在上，直线的斜率为.当时，过点作的平行线交双曲线左支于点，过点作轴的垂线交双曲线右支异于点的点.
（1）当k=1时，求点的坐标；
（2）设表示点的纵坐标，求的取值范围；
（3）设Sn表示的面积，证明：数列为常数列.
2025年普通高等学校招生全国统一考试
高考模拟调研卷数学（二）
数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，
当时，，不满足；
当时，由，
由可得，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：B
2.“”“”
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】通过反例可知充分条件不成立；当时，可得的范围，与所给条件不符，必要条件不成立，从而得到结论.
【详解】当时，，可知充分条件不成立
当时，，，可知必要条件不成立
“”是“”的既不充分也不必要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分条件与必要条件