2024~2025学年第一学期福州市部分学校元月联考
高三数学试卷
考试日期：2025年1月3日
完卷时间：120分钟满分：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是符合题意的.）
1.已知复数（其中为虚数单位），则（）
A.B.C.D.
2.已知集合，若，则（）
A.1B.2C.3D.4
3.已知向量，若，则（）
A.B.C.2D.
4.“”是“直线与直线平行”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知圆台的母线长为，高为，体积为，则圆台的侧面积为（）
A.B.C.D.
6.已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（）
A.2B.4C.6D.8
7.为丰富学生的校园文化生活，哈尔滨市第九中学每年冬天都会在操场上浇筑滑冰场，现欲测量操场两侧C，D两点之间的距离，甲同学选定了与C，D不共线的两处观测点，如图所示，并知，设，以下是测量数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量．若甲同学选择的方案能唯一确定C，D两点之间的距离，则这样方案的个数有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（）
A.B.
C.D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项是符合题意的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分.）
9.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（）
A.
B.的面积为
C.的周长为
D.外接圆半径
10.已知角满足，，则下列结论正确的有（）
A.B.
C.D.
11.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（）
A.椭圆的离心率为
B.若点在椭圆上，将直线斜率分别记为，则
C.点到椭圆的左焦点的距离的最小值为
D.面积的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为______．
13.若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________．
14.已知在斜二测画法下的直观图(其中A与对应，B与对应)为下图所示的，其中，，则的面积为______；以该为底面的三棱锥中，，，则三棱锥的外接球半径为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
15.良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立．
（1）求学生甲恰好答对3道题的概率；
（2）设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望．
16.已知是双曲线的一条渐近线，点在上.
（1）求的方程；
（2）已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上.若，的面积为，求的方程.
17.三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与DE的距离．
18.已知函数.
（1）当时，讨论单调性；
（2）
（i）当时，求的最小值；
（ii）若在上恒成立，求的取值范围.
19.已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”．
（1）若，且为“2数列”，求．
（2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式．
（3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：．2024~2025学年第一学期福州市部分学校元月联考
高三数学试卷
考试日期：2025年1月3日
完卷时间：120分钟满分：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是符合题意的.）
1.已知复数（其中为虚数单位），则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得.
【详解】，
故.
故选：C.
2.已知集合，若，则（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可
【