【高考数学】2026版53高考总复习A版数学链接高考8立体几何中的探索和动态问题链接高考8立体几何中的探索和动态问题
1.(2024江苏南京、盐城一模,7)在棱长为2a(a0)的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为棱AB,D1C1的中点.已知动点P在该正方体的表面上,且PM·PN=0,则点P的轨迹长度为(
A.12aB.12πaC.24aD.24πa
答案B
2.(多选)(2025届云南师大附中期中,11)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC1的中点,Q为AB的中点,动点P满足AP=λAB+μAD,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1
A.当λ=0,μ∈0,12时,平面D1
B.当λ+μ=2时,A1P⊥平面D1B1A
C.当λ+μ=1时,PA+PC1的最小值为2
D.当OP=216时,动点P的轨迹长度为
答案BC
3.(多选)(2024江西赣州十八县(市)二十四校联考,10)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1=AB,点M,N分别为CC1和BC的中点,点P是棱AA1上的一个动点,则下列说法中正确的有()
A.存在点P,使得B1M∥平面PBC
B.直线PN与CC1为异面直线
C.存在点P,使得B1M⊥PN
D.存在点P,使得直线PN与平面ABC所成角为45°
答案BCD
4.(多选)(2025届江苏如东一中、宿迁一中、徐州中学第一次阶段性测试,11)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AA1=2AD=2,点P满足AP=λAB+μAD,其中λ∈[0,1],μ∈[0,
A.若B1P与平面ABCD所成角为π4,则点P的轨迹长度为
B.当λ=μ时,B1P∥平面A1C1D
C.当λ=12时,有且仅有一个点,使得A1P⊥
D.当μ=2λ时,A1P+DP的最小值为2+
答案BCD
5.(2024福建宁德毕业班质量检查,16)在平行四边形ABCD中,∠D=60°,CD=1,AC=3.将△ABC沿AC翻折到△APC的位置,使得PD=5.
(1)证明:CD⊥平面APC;
(2)在线段AD上是否存在点M,使得二面角M-PC-A的余弦值为23913?若存在,求出|AM||MD|的值;若不存在
解析(1)证明:在三角形ACD中,由正弦定理可得ACsin∠ADC=CDsin∠CAD,
sin∠CAD=12,又ACCD,故∠CAD=30°.(2分)
所以∠ACD=90°,即CD⊥AC,(3分)
因为PD=5,PC=2,CD=1,
所以PC2+CD2=PD2,则有CD⊥PC.(5分)
因为PC∩AC=C,AC,PC?平面APC,
所以CD⊥平面APC.(6分)
(2)由(1)知CD⊥平面APC,且CD?平面ADC,
所以平面ADC⊥平面APC.
在平行四边形ABCD中,BA⊥AC,即PA⊥AC,
故PA⊥平面ADC.(7分)
以点C为坐标原点,CD、CA、AP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则C(0,0,0),D(1,0,0),P(0,3,1),A(0,3,0),
设AM=λAD=λ(1,-3,0)=(λ,-3λ,0),其中0≤
则CM=CA+AM=(0,3,0)+(λ,-3λ,0)=(λ,3-3λ,
设平面MCP的法向量为m=(x,y,z),
则m·CP=3y+z=0,m·CM=λx+(3-3λ)y=0,取y=λ,则z=-3λ,x=3(λ-1),
易知平面CPA的一个法向量为n=(1,0,0),(12分)
则|cosm,n|=|m·n||m|·|n|
整理可得15λ2+2λ-1=0,
由0≤λ≤1,解得λ=15(舍负),(14分)
因此,线段AD上存在点M,使得二面角M-PC-A的余弦值为23913,且|AM||MD|=1
6.(2025届湖南长沙周南中学段考,17)如图,已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面,矩形SADE的对角线交于点F,G为SB的中点,∠ABC=∠BAD=π2,SA=AB=BC=12AD
(1)求证:BD∥平面AEG;
(2)在线段EG(不含端点)上是否存在一点H,使得平面ABH与平面SCD所成角的正弦值为306?若存在,求出GH的长;若不存在,说明理由
解析(1)证明:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(0,2,0),E(0,2,1),C(1,1,0),G12,0,12,S(0,0,1),∴BD=(-1,2,0),AE=(0,2,
设平面AEG的法向量为m=(x,y,z),
则m·AE=0,m·AG=0,得2y+z=0,12x+12z=0,令x
∴BD∥平面AEG.(5分)
(2)假设存在点H,设GH=λGE=-12λ,2λ,12λ,
设平面SCD的法向量为n1=(x1,y1,