【高考数学】2026版53高考总复习A版数学链接高考2三次函数的性质综合链接高考2三次函数的性质综合
1.(2025届浙江杭州月考,4)已知三次函数f(x)的零点从小到大依次为m,0,2,其图象在x=-1处的切线l经过点(2,0),则m=()
A.-8
答案B
2.(多选)(2025届河北沧州质量监测,10)设函数f(x)=(x+1)2(x-2),则()
A.x=1是f(x)的极小值点
B.f(x)的极大值为1
C.当x∈?32,?12时,-4≤f(
D.若f(x)0,则x∈(-∞,2)
答案AC
3.(多选)(2025届山东济宁实验中学开学考,10)已知函数f(x)=2x3-6x+1,则()
A.g(x)=f(x)-1为奇函数
B.f(x)的单调递增区间为(-1,1)
C.f(x)的极小值为3
D.若关于x的方程f(x)-m=0恰有3个不等的实根,则m的取值范围为(-3,5)
答案AD
4.(多选)(2025届四川联考,11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx,则()
A.若a=2,b=1,则f(x)有且仅有两个零点
B.若b=0,则0为f(x)的极值点
C.当a为定值时,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为定值
D.若a0,b=0,当且仅当-23ax00时,曲线y=f(x)上存在关于直线x=x0
答案ACD
5.(多选)(2025届广东八校联合检测,10)设函数f(x)=x3-x2+ax-1,则()
A.当a=-1时,f(x)有三个零点
B.当a≥13时,f(x)
C.?a∈R,使f(x)在R上是减函数
D.?a∈R,f(x)图象对称中心的横坐标不变
答案BD
6.(多选)(2025届重庆沙坪坝阶段练习,11)已知三次函数f(x)=ax3+x2+cx+127有三个不同的零点x1,x2,x3(x1x2x3),函数g(x)=f(x)-1.则()
A.3ac1
B.若x1,x2,x3成等差数列,则a∈(-1,0)∪(0,1)
C.若g(x)恰有两个不同的零点m,n(mn),则2m+n=-1
D.若g(x)有三个不同的零点t1,t2,t3(t1t2t3),则x
答案ABD
7.(2025届河南郑州一中月考,12)已知函数f(x)=x3+ax2-9x+10(a∈R).若x=-1是f(x)的极值点,则f(x)的极小值是.?
答案-17
8.(2025届浙江嘉兴期中,15)已知函数f(x)=x3-(1+a)x2-(a2-2a)x.
(1)当a=1时,求函数的极值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
解析(1)当a=1时,f(x)=x3-2x2+x,
故f(x)=3x2-4x+1.
令f(x)=0,解得x=1或x=13
当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:
x
?
1
1
1
(1,+∞)
f(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)极大值=f13=427,f(x)极小值=f(
(2)f(x)=3x2-2(1+a)x-(a2-2a),
令f(x)=0,解得x1=a,x2=2?a
当x1=x2时,a=2?a3,解得a=12,所以若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,则a≠12,且-1a
解得-1a1或-1a5且a≠12
故a的取值范围为?1,1
9.(2025届江苏苏州期中,16)已知x=2是三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的极值点,且直线3x+y-5=0与曲线y=f(x)相切于点(1,f(1)).
(1)求实数a,b,c的值;
(2)若f(t)=-1,f(s)=5,求f(t+s)的值;
(3)若对于任意实数x,都有f(x2-2x+4)+f(x2+λx)4恒成立,求实数λ的取值范围.
解析(1)f(x)=3x2+2ax+b.
在3x+y-5=0中,令x=1,得y=2,即f(1)=2,
根据题意有f
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+4,
f(x)=3x2-6x=3x(x-2),
x0或x2时,f(x)0,0x2时,f(x)0,
则f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,
极大值为f(0)=4,极小值为f(2)=0,
f(t)=-10,f(s)=54,因此t,s都是唯一的实数.
f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+4+(1-x)3-3(1-x)2+4
=1+3x+3x2+x3-3(1+2x+x2)+4+1-3x+3x2-x3-3(1-2x+x2)+4
=4,所以f(x)的图象关于点(1,2)对称,而f(s)+f(t)=4,
又(t,-1)和(