【高考数学】2026版53高考总复习A版数学82椭圆8.2椭圆
五年高考
考点1椭圆的定义和标准方程
1.(2024新课标Ⅱ,5,5分,易)已知曲线C:x2+y2=16(y0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P为垂足,则线段PP的中点M的轨迹方程为()
A.x216+y24
B.x216+y2
C.y216+x24
D.y216+x2
答案A
2.(2021新高考Ⅰ,5,5分,易)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF
A.13B.12C.9D.6
答案C
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若B
A.x2
C.x23+y
答案B
4.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1
A.1B.2C.4D.5
答案B
5.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=35,
A.13
答案B
6.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
解析(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2
不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b
由|CD|=43|AB|得4
解得ca=-2(舍去)或c
(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24
设M(x0,y0),则x024c2+y023c2
由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5?c)24c2+4(5?c)3c=1,即c2-2c
所以C1的标准方程为x236+y227=1,C
考点2椭圆的几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a
A.2
答案A
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(
A.2
答案C
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为1
A.3
答案A
4.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b
A.2
答案C
5.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c0).若过F1的直线和圆x?12c2+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,
答案255
6.(2022新高考Ⅱ,16,5分,难)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23
答案x+2y
7.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|
答案13
8.(2022天津,19,15分,难)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,右顶点为
(1)求椭圆的离心率e;
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|OM|=|ON|,且△OMN的面积为3,求椭圆的标准方程.
解析(1)∵|BF|=c2+b2=a,|
∴|BF||AB|=aa2+b
∴c=a2?b2=2b,
(2)由(1)知椭圆方程为x23
由题可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+m(k≠0),由椭圆的对称性,不妨设k0,m0,如图.则有|OM|=|ON|=m.
联立得x
则有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,
Δ=0?3b2k2+b2-m2=0,
由根与系数的关系得xM=-3mk3k2+1,代