【高考数学】2026版53高考总复习A版数学44解三角形4.4解三角形
五年高考
考点1正弦定理、余弦定理
(2023全国乙文,4,5分,易)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB-
bcosA=c,且C=π5,则B=()
A.π
答案C
2.(2021全国甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=()
A.1B.2C.
答案D
3.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB=()
A.1
答案A
4.(2021全国乙文,15,5分,易)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.?
答案22
(2024新课标Ⅱ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
sinA+3cosA=2.
(1)求A;
(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周长.
解析(1)由已知得12sinA+32cosA=sinA+π3=1,因为0Aπ,
由2bsinC=2csinBcosB及bsinB=csinC,得2sinBsinC=2sinCsinBcosB,又sinB≠0,且sinC≠0,所以cosB=22,则sin
sinAcosB+cosAsinB=12×22+32×22=2+64,所以c=asin
(2024新课标Ⅰ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
已知sinC=2cosB,a2+b2-c2=2ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+3,求c.
解析(1)由余弦定理的推论得cosC=a2+b2?c22ab=
由sinC=2cos
∴cosB=12,由0Bπ得B=π
(2)由(1)得B=π3,C=π4.∵
令b3=c2=t,t0,则b=3t,c
∵A=π-B-C=5π12
∴sinA=sinπ4
∵S△ABC=12
∴t=2,因此c=22.
7.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
解析(1)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=22+12-2×2×1×cos120°=7,则BC=7.(3分)
由正弦定理,得ACsin∠
则sin∠ABC=AC·sin∠BACBC=
(2)在Rt△ABD中,由(1)知sin∠ABD=2114,且∠ABD为锐角,所以tan∠ABD=3
在Rt△ABD中,AB=2,则AD=AB·tan∠ABD=2×35=235
在△ADC中,∠DAC=30°,AC=1,
∴△ADC的面积S=12×235
8.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD·sin∠ABC=asinC.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
解析(1)证明:由题设得BD=asin
在△ABC中,由正弦定理知csin
即sinC
代入BD=asinCsin∠ABC中,得BD=acb,又
∴BD=b.(4分)
(2)由AD=2DC得AD=23b,DC=b
在△ABD中,cosA=AD
在△ABC中,cosA=AC
故c2?59b243bc=b2
又b2=ac,(7分)
所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,
所以c=3a或c=23a.(8分)
当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=3a,此时a+bc,
故a,b,c构不成三角形;(10分)
当c=23a时,b2=ac=23a2,所以b=6
此时a,b,c可以构成三角形,(11分)
故c=23a,b=63a,所以在△ABC中,cos∠ABC=a2+c
考点2解三角形及其综合应用
1.(2021浙江,14,6分,中)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=,cos∠MAC=.?
答案213;2
(2022全国甲,理16,文16,5分,中)已知△ABC中,点D在边BC上,
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=
答案3-1
3.(2020全国Ⅰ,16,5分,中)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.?
答案-1
4.(2023新课标