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文件名称:数值分析矩阵的特征值.ppt
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总页数:101 页
更新时间:2025-06-18
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文档摘要

古典Jacob法(续2)一般地,Jacobi法不能在有限步内将A化成对角阵,但有以下收敛性结果。定理4.1设A为n阶实对称阵,对A用古典Jacobi法得到序列{A(k)},其中A(0)=A,则:即古典Jacobi法收敛。[证明]由Jacobi法计算过程:另一方面,由计算A(k+1)的公式可以得出:*第62页,共101页,星期日,2025年,2月5日古典Jacob法(续3) 定理4.1表明,古典Jacobi法是收敛的,进一步分析还可以得出Jacobi法收敛较快。另外,这种方法对舍入误差有较强的稳定性,因而解的精度高,且所求得的特征向量正交性很好。它的不足之处是运算量大,且不能保持矩阵的特殊形状(如稀疏性),因此Jacobi法是求中小型稠密实对称矩阵的全部特征值与特征向量的较好方法。*第63页,共101页,星期日,2025年,2月5日两点说明在实际计算中还可采用一些措施来提高精度和节省工作量。1?减少舍入误差的影响。从公式中可知,具体计算时只需用到sin?,cos?的值,为了提高精度,舍入误差越小越好。常常利用三角函数之间的关系,写成便于计算的公式即得 (4-21)*第64页,共101页,星期日,2025年,2月5日两点说明(续)2?节省工作时间。在雅可比法中,每次变换是把非对角元绝对值最大者化为零,但在n阶矩阵中要去寻找这个最大元素要花较多的机器时间,所以一般不选最大元。改进的一种方法是设某些“关口”,如a1,a2,…,ak,先按次序用aij(i?j,j=1,2,…,n)与a比较,若,则通过不加运算,若,就进行一次旋转变换,使之化为0,一遍轮流过以后,再用a2来比较,作同样处理,直至达到所需精度为止,这种方法称为雅可比过关法。例6用Jacobi方法求下列矩阵的特征值。*第65页,共101页,星期日,2025年,2月5日例6(续1)*第66页,共101页,星期日,2025年,2月5日例6(续2)下面应取i=2,j=3,重复上述过程。如此继续下去,可得:*第67页,共101页,星期日,2025年,2月5日例6(续3)所以A的特征值为: 与其准确值比较,最大误差为0.0002036。*第68页,共101页,星期日,2025年,2月5日古典Jacobi法一种改进古典Jacobi法在计算每个旋转矩阵V(k)前都需要对个非对角元素进行比较,从中找出绝对值最大的元素。为减少运算量常用的一种改进方法是取定正{?k},?k?0(k??),以?k为限,逐行检查非对角元,若就跳过,否则以Vij(?)消去元aij和aji,反复进行上述过程,直到所有非对角元的绝对值均小于?k,再以?k+1为限,进行第k+1轮循环消元。当?k充分小时,所得到的矩阵的对角元即为A的全部特征值。*第69页,共101页,星期日,2025年,2月5日§3QR方法3.1基本QR方法六十年代出现的QR算法是目前计算一般中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效的方法。这里仅讨论实矩阵,并假定矩阵非奇异。因为否则,矩阵A??I(?不是A的特征值)必定是非奇异的,而由A??I的特征值与特征向量容易得到A的特征值与特征向量。因为任一非奇异实矩阵A都可以分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积,而且当R的对角元符号取定时,分解是唯一的。基本QR方法的基本思想是利用矩阵的QR分解,通过迭代格式:*第70页,共101页,星期日,2025年,2月5日QR方法(续1)可将A=A(1)化成相似的上三角阵(或分块上三角阵),从而求出矩阵A的全部特征值与特征量。 即A(2)与A相似。同理可得,A(k)~A(k=2,3,…)。故它们有相同的特征值。可以证明,在一定条件下,基本QR方法产生的矩阵序列{A(k)}“基本”收敛于一个上三角矩阵(或分块上三角阵),即主对角线(或主对角线子块)及其以下元素均收敛,主对角线(或主对角线子块)以上元素可以不收敛。特别地,如果A是实对称阵,则{A(k)}“基本”收敛于对角矩阵。*第71