第2节等差数列
考向一等差数列的概念及通项
知识点一等差数列的概念
1．定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，即或者（），那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
2．递推公式形式的定义：（且）或者．
知识点二等差中项的概念
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b．
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数，任意两实数a，b的等差中项存在且唯一；
②三个数,,成等差数列的充要条件是．
知识点三等差数列的通项公式
1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d．
知识点四从函数观点看等差数列——等差数列与一次函数
由等差数列的通项公式，可得．
当时，是的一次函数，一次项系数是等差数列的公差，它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．
（1）当时数列为递增数列；（2）当时数列为递减数列；（3）当时，，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．
从图象上看（如下图），表示数列的各点，即点，均匀分布在一条直线上．
知识点五等差数列通项公式的变形及推广
1．公式变形
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)，可用来由等差数列任两项求公差．
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1．
证明：∵，，∴，∴．
由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况．
③，已知首项，末项，公差即可计算出项数．
2．基本量法
（1）等差数列可以由首项a1和公差d确定，我们把a1和d称为基本量，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行．在基本量法中，不拘泥于，有可直接用．
解题时没有思路了，可以回归基本量法．
（2）求等差数列的通项公式的两种思路：
①设出基本量，，利用条件构建方程组，通过加减消元法或代入消元法求出，，即可写出等差数列的通项公式；
②已知等差数列中的两项时，则可不必求而直接写出等差数列的通项公式．
③设项技巧——对称设项
（i）三个数成等差数列可设为：，，或，，；
（ii）四个数成等差数列可设为：，，，或，，，．
【例1】（2020?上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则．
【例2】设，，分别是内角，，的对边，若依次成公差不为0的等差数列，则
A．，，依次成等差数列 B．，，依次成等差数列
C．依次成等差数列 D．依次成等差数列
【例3】(2022?新II卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．
其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0．1的等差数列，
且直线的斜率为0．725，则()
A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9
【例4】函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，则以下不可能成为公差的数是
A． B． C．1 D．
【例5】(2023?乙卷)已知等差数列的公差为，集合，若，则（????）
A．－1 B． C．0 D．
考向2等差数列的性质
1．由等差数列生成新的等差数列
（1）公差为的等差数列具有如下性质：下标成公差为的等差数列的项组成以md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
（2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．
（3）若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
2．角标和对称性：若，则．
（1）若，则；
（2）若，则．
（3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和：
对于选填中的二元问题，单条件暗示考性质，可利用从一般到特殊思想，直接考虑特殊化的情形，令可简化计算．
3．角标项对偶性：若，则．
证明：由得，，
【例1】（2024?新高考Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，则S10＝．
【例2】已知数列为等差数列，且，则
A． B． C． D．
【例3】已知，均为等差数列，且，，，则
A．20