第4节数列的递推与通项公式
考向一利用Sn与an的关系
1．关系：，要注意验证与两种情况能否统一.
2．已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路：
（1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式:，消去，转化为等差或等比数列直接求出；
（2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式:，消去，得出与的递推关系式，先求出后，即可转化为“第1种情形”，从而间接求出，如例3.
在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求要比直接求麻烦；但也有时先直接求会比先求麻烦得多.
题型1消
【例1】设数列的前项和为，且．求数列的通项公式．
【例2】设数列的前项和为，．求数列的通项公式．
题型2消
【例3】已知数列的前项和为，且满足，，求.
【例4】在正项数列中，是数列的前项和，且，求.
考向二累加法
累加法适用于邻项差结构
利用，将问题转化为基本数列求和，
从而得到所求数列的通项．以下=1\*GB3①=2\*GB3②③为三种累加后可裂项相消求和的题型：
=1\*GB3①若是关于的分式函数，；
=2\*GB3②若是关于的对数函数，；
③若是关于的无理式函数，.
=4\*GB3④若是关于的一次函数，，累加后可转化为等差数列求和；
⑤若是关于的二次函数，，累加后可分组求和；
⑥若是关于的指数函数，，累加后可转化为等比数列求和；
【例1】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，求an.
【例2】已知数列中，，，求.
考向三累乘法
累乘法适用于邻项商结构，
利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
【例1】已知数列中，，，求数列的通项公式；
【例2】设是首项为的正项数列，（），求的通项公式.
考向四构造法
题型一一阶线性递推型（，）
转化方法：
①待定系数法，令，化简整理后与原来的递推式比较系数可知，于是，故数列是以为首项，以为公比的等比数列.
②由得，（）两式相减，得，当时，数列是公比为的等比数列．
【例1】已知数列an满足a1=1，an+1=2
A．29?3 B．29+3 C．
【例2】已知数列的首项，求数列的通项公式．
题型二一阶线性递推型
转化方法：待定系数法，令，化简整理后与已知递推式比较系数得，解得,从而转化为是公比为的等比数列.
【例1】已知数列满足，，求出数列的通项公式．
题型三含指数幂型递推关系式或
转化方法：①等式两边同时除以：，当时，再构造等比数列求解（题型一）；
②待定系数法，令，化简整理得，与原递推关系式比较系数可得，解得.对于，同理可得．
注意，当时，只能构造等差数列，如例2．
【例1】已知数列的前项和为，满足，则数列an的通项公式为．
【例2】已知an数列满足a1=2，an+1?2
题型四分式型递推关系式.
转化方法：取倒数+待定系数，两边取倒数可得：，当时，可转化为题型一中结构，再待定系数构造等比数列即可.
【例6】已知数列满足，.求证：数列为等比数列，并求出数列.
题型五平方式递推型
转化方法：取对数法，当数列和的递推关系涉及到高次时，一般先对已知递推关系式进行适当的变形（同加减、同乘除）整理成类似形式，将等式两边分别取对数降次得到，数列即为等比数列.
【例8】已知数列an满足a1=2,an+1=
题型六二阶线性递推关系（）
转化方法：找到中间项，通过中间项与前一项和后一项的特征，寻求合理的构造方式解决问题．
【例】已知数列an满足an+2+3an=4an+1，且
考向五隔项型
题型一隔项等差型
1.分奇偶讨论法：通过对数列下标进行换元，分为奇数项与偶数项两种情况.
①当为奇数时，可令（），反解得，
于是；
②当为偶数时，可令（），反解得，
于是.
综上所述，.
注意换元后，要将最后的结果还原成关于的表达式.
2.待定系数法：（此方法限小题）此类型题由于和作为数列奇数项和偶数项首项，会使得数列一些变形出现一些计算难度，故可以采用待定系数法来求统一的通项公式，考虑首项的因素，需要在原始的待定系数的前面加上．具体操作如下：
令，其中，代入和即可确定和.
【例1】数列中，，数列的通项公式.
【例2】(2014?新课标1卷理)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.
（1）证明：；
（2）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
题型二隔项等比型
1.分奇偶讨论法：通过对数列下标进行换元，分为奇数项与偶数项两种情况.
①当为奇数时，可令（），反解得，于是；
②当为偶数时，可令（），反解得，于是.
综上所述，.
注意换元后，要将最后的结果还原成关于的表达式.
待定系数法：，，，对比系数可得出，
，再代入即可确定.