第1节数列的概念
考向一数列的通向公式与递推公式
一、数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第1项也叫做首项；第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示；……；第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示．类比函数中的定义域，容易得到数列中项的下角标．
2．数列的一般形式可以写成，，，…，，…，简记为．
二、数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
三、数列的通项公式与递推公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．有的数列不止有一个通项公式（可类比相同函数），例如；，这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成，也可以写成an＝eq\f(1＋?－1?n,2)(n∈N*)或an＝eq\f(1＋cosnπ,2)(n∈N*)．有的数列没有通项公式，比如无理数和中的数依次排成的数列．
2．通项公式：数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
3．递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，比如数列满足：，且（），那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）4，6，8，10，；
（2）1，3，6，10，15，；
（3），，，，，；
（4）2，3，5，9，17，33，；
（5）3，0，，0，3，0，，0，．；
（6）8，88，888，8888，；
【例2】是数列，，，中的第几项
A．第98项 B．第99项 C．第100项 D．第101项
【例3】设数列{an}满足an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,1＋\f(1,an－1)，n≥2，n∈N*.))
写出这个数列的前5项．
考向2数列的前n项和Sn（积）与an的关系
题型1数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
2．．
3．已知与的关系式，记为，它可由阶差公式直接求出通项，但要注意验证与两种情况能否统一，具体分三步进行：
(1)时，由，求的值；
(2)时，由，求得的表达式；
(3)检验的值是否满足（2）中的表达式．
①若满足，则合写；
②若不满足，则写成分段函数的形式：．
4．前项和与通项的关系
（1）为等差数列，．
（2）（），即从第二项开始为等差数列．
注：选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！
【例1】已知数列的前项和为．求数列的通项公式．
【例2】已知数列的前项和为．求数列的通项公式．
【例3】在正项数列中，为其前项和，且，求通项公式．
【例4】数列的前项和，求数列的通项公式．
题型2数列的前n项积与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之积，称为数列{an}的前n项积，记作，即．
2．．
3．已知与的关系式，记为，它可由阶商公式直接求出通项，但要注意验证与两种情况能否统一，具体分三步进行：
(1)时，由，求的值；(2)时，由，求得的表达式；
(3)检验的值是否满足（2）中的表达式．
①若满足，则合写；
②若不满足，则写成分段函数的形式：．
【例1】已知数列的前项积．求的通项公式．
考向3数列的性质
题型1数列的单调性与最值问题
一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项都相等，即，那么这个数列叫做常数列．
1．利用定义法判断数列的单调性
（1）作差比较法，即较与的大小
单调性
是递增数列
是递减数列
是常数列
（2）作商比较法，即比较与的大小
是递增数列
是递减数列
是常数列
是递减数列
是递增数列
（3）转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．常见的数列母函数有一次函数、二次函数、分式函数、分段函数、类指数函数等等．
【例1】数列的通项公式为，．求证：为递增数列．
【例2】已知数列的通项公式，
（1）求证：；
（2）判断是递增数列还是递减数列，并说明理由．
2．利用数列的单调性求参数的取值范围
常利用以下等价关系：数列递增?恒成立；数列递减?恒成立，通过分离变量法转化为代数式的最值来解决．
【例3】已知数列是单调递增数列，，，则