第六节数列放缩本质论
考向一蛛网图与数列极限单调性判断
知识点一函数迭代和数列的关系
已知函数满足，则一定有，故函数通过反复迭代产生的一系列数构成了数列或者记为，而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示：
下面以函数和数列
数列
……
函数
……
数列
数列
函数
16x+15
……
可以发现：
①数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的，故数列的任何一项都在函数上．
②数列的通项公式是函数对迭代次的结果，即，每一次由于迭代产生出的因变量成为下一次迭代的自变量．
③数列的首项对整个数列有很大的影响，当迭代不断重复出现同一结果时，我们将其称为不动点．
知识点二函数的迭代图像——蛛网图
函数的迭代图像，简称蛛网图或者折线图，函数和直线共同决定．
其步骤如下：
1．在同一坐标系中作出和的图像（草图），并确定不动点．（如图1所示）
图1图2
2．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点（如图2所示）
3．由向作垂直于轴的直线与相交，并确定交点．
4．由向作平行于轴的直线与相交，并确定交点．
5．由向作垂直于轴的直线与相交，并确定交点．
重复4，5，直至找到点的最终去向．
知识点三蛛网图与数列的单调性
定理1：的单调增区间存在两个不动点x1，x2（x1x2)，且在两个不动点之间形成一上凸的图形时，（如左图）则数列在两个不动点之间的区间是递增的，即，在两不动点以外的区间则是递减的，即．
定理2：的单调增区间存在两个不动点x1，x2（x1x2)，且在两个不动点之间形成一下凹的图形时，（如右图）则数列在两个不动点之间的区间是递减的，即，在两不动点以外的区间则是递增的，即．
综上可得，当的单调增区间位于上凸内或者下凹外时，即当迭代起点位于此区域时，一定有同理，当迭代起点位于单调增区间的上凸外或者下凹内时，一定有．
知识点四数列的极限
根据蛛网图可知，当一数列为单调上凸曲线时，迭代点会无限靠近大的不动点，我们将这个大的不动点称为数列的极限，记为；当一数列为单调下凹曲线时，迭代点会无限靠近小的不动点，我们将这个小的不动点称为数列的极限，记为．
几种常见的函数迭代图（未画折线）
顶点为不动点抛物线顶点为不动点的抛物线横着的抛物线二四象限反比例函数的平移函数
请思考：
知识点五由反比例（递减函数）函数迭代构成的摆动数列
如下左图所示，当在区间为减函数时，和直线相交于不动点，那么由此函数迭代构成的数列为摆动数列，即奇数项和偶数项构成相反的单调性，但都螺旋靠近不动点，极限也是不动点．
左图所示，同时；如右图所示，
同时．
【例1】（2023?北京）数列满足，下列说法正确的是
A．若，则是递减数列，，使得时，
B．若，则是递增数列，，使得时，
C．若，则是递减数列，，使得时，
D．若，则是递增数列，，使得时，
【例2】（多选）已知数列的前项和为，，则下列选项正确的是
A． B．存在，使得
C． D．是单调递增数列，是单调递减数列
【例3】（多选）数列满足，，，则下列说法正确的是
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，数列单调递增，数列单调递减
【例4】（多选）已知数列的首项为，且，则
A．存在使数列为常数列 B．存在使数列为递增数列
C．存在使数列为递减数列 D．存在使得恒成立
考向二蛛网图与数列等比放缩（一级精度）
第一类无不动点判断的趋势
若，在区间，且，为下凹函数，易知越来越大，故通过构造
的单调性，如图，当，且时，则一定有；
【例5】（2019?浙江）设，，数列满足，，，则
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
第二类不动点判断的趋势
当，，若为两个不动点，如图所示，我们假设，此函数符合模型，则根据蛛网图，当时，则有，两个不动点为，，
如左图，，如右图，，如此对不动点蛛网图的斜率翻译放缩，称为数列放缩的一级精度。
我们通过几道例题来解析数列放缩的一级精度。
【例6】已知数列满足，，记数列前n项和为，则对于任意的，下列结论正确的是（）
存在，使B.数列单调递增
C.