第1页，共29页，星期日，2025年，2月5日问题:如何研究曲线的弯曲方向?问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?第2页，共29页，星期日，2025年，2月5日定义如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的．一、（一）曲线的凹凸性与拐点第3页，共29页，星期日，2025年，2月5日曲线凹凸的判定:第4页，共29页，星期日，2025年，2月5日定理设函数在区间内存在二阶导数，(2)若时，恒有，则曲线在内凸的．(1)若时，恒有，则曲线在内凹的；第5页，共29页，星期日，2025年，2月5日例解注意到,第6页，共29页，星期日，2025年，2月5日（二）曲线的拐点第7页，共29页，星期日，2025年，2月5日求拐点的一般步骤：②令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；①求函数的二阶导数；③对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．第8页，共29页，星期日，2025年，2月5日第9页，共29页，星期日，2025年，2月5日第10页，共29页，星期日，2025年，2月5日练习.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸第11页，共29页，星期日，2025年，2月5日xoyl．二、渐近线第12页，共29页，星期日，2025年，2月5日**曲线渐近线的分类第13页，共29页，星期日，2025年，2月5日第14页，共29页，星期日，2025年，2月5日注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线．第15页，共29页，星期日，2025年，2月5日解因为，所以是曲线的水平渐近线．又因为5是的间断点,且，所以是曲线的铅垂渐近线．例求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.第16页，共29页，星期日，2025年，2月5日例求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.解因为，所以是曲线的水平渐近线．又因为1和-1是的间断点，且，，所以和是曲线的铅垂渐近线．第17页，共29页，星期日，2025年，2月5日三、复杂函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周第18页，共29页，星期日，2025年，2月5日例3.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)第19页，共29页，星期日，2025年，2月5日第20页，共29页，星期日，2025年，2月5日第21页，共29页，星期日，2025年，2月5日