第二节单调性与奇偶性
考向1函数的单调性
题型1单调性的定义及判断
（1）定义域是函数的整体性质，单调性是函数的局部性质.若函数单调区间不止一个时，不能用“”书写，需要用“，”或“和”隔开．例如，的单调递减区间为，．
（2）等价定义：
①，若，则在区间上是增函数；
②，若，则在区间上是减函数．
③，且，若，则在区间上是增函数；
④，且，若，则在区间上是减函数．
（3）函数单调性的运算：
①增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，
增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；
②函数与函数的单调性相反；
③时，函数与的单调性相反；
时，函数与的单调性相同.
【例1】（2023?北京）下列函数中在区间上单调递增的是
A． B． C． D．
【例2】（2017?山东）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是
A． B． C． D．
【例3】已知函数，则下列说法正确的是
A．函数的图象关于点对称
B．函数在上单调递增
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在，上的最大值为3
题型2利用单调性求参
【例1】已知是定义在，上的减函数，且，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．
【例2】设函数，若对，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【例3】已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，都有．则不等式的解集为
A． B．
C．，， D．
题型3分段函数的单调性
函数，在上单调増递，则需满足三个条件：
(1)在上单调増递增；(2)在上单调増递增；(3)．
函数，在上单调増递减，则需满足三个条件：
(1)在上单调増递减；(2)在上单调増递减；(3)．
【例1】若函数，且对任意的，满足条件，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【例2】（2024?新高考1卷）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（）
A. B. C. D.
题型4复合函数的单调性
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下:
若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数;
若，在所讨论的区间上一增一减，则为减函数．
【例1】（2023?新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【例2】（2020?海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是
A． B．， C． D．，
考向2函数的奇偶性
题型1奇偶性定义及判断
函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2）函数，在它们的公共定义域上有下面的结论：
同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇．
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则：
为偶函数，为奇，为偶函数．
【例1】已知f（x），g（x）是定义在R上的函数，则“y＝f（x）+g（x）是R上的偶函数”是“f（x），
g（x）都是R上的偶函数”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例2】函数f（x）＝x+sinx在R上是（）
A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数
C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数
【例3】已知函数f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）＝x2+x﹣2，则f（2）＝（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x+cosx﹣1，则x＜0时，f（x）＝（）
A．x﹣cosx+1 B．﹣x+cosx﹣1 C．x+cosx﹣1 D．﹣x﹣cosx+1
【例5】若f（x）是定义在R上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（）
A．|f（x）| B．f（|x|）
C．1f(x) D．f（x）﹣f（﹣x
【例6】（2021?乙卷）设函数f（x）=1?x
A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1
例7.（2024?天津卷）下列函数是偶函数的是（）
A. B. C. D.
题型2常见