基本信息
文件名称:第四节 基本初等函数.docx
文件大小:843.76 KB
总页数:10 页
更新时间:2025-06-19
总字数:约4.06千字
文档摘要

2.4基本初等函数

考向1幂指对函数

题型1指对的混合运算

1.指数式运算

(1)有理数指数幂的性质

①,,;

②,,;

③,,;

④,,.

(2)注意事项:对于根式记号,要注意以下几点:

①,且;②当是奇数,则;当是偶数,则;

③负数没有偶次方根;

④零的任何次方根都是零;

⑤指数的运算和逆运算,遇到多重根号问题,需要先写成指数形式:

例:.

2.对数式的运算

(1)对数的性质和运算法则:

①特殊对数:;;其中且;

②对数恒等式:(其中且,);

③对数换底公式:,如:.

(2)对数的运算法则:

①外和内乘原理:;

②外差内除原理:;

③提公次方法:,;

④指中有对,没心没肺:和,如:,.

(5)换底公式和对数运算的一些方法:

①常用换底:,如:;

②倒数原理:,如:;

③约分法则:,如:;

④归一法则:.

【例1】(2022?浙江)已知,,则

A.25 B.5 C. D.

【例2】已知,则的值为.

【例3】(2022?天津)化简的值为

A.1 B.2 C.4 D.6

【例4】(2021?天津)若,则

A. B. C.1 D.

【例5】(2024?甲卷)已知,,则______.

题型2幂指对函数的图像及其性质

1.指数函数的定义及图像

图象

性质

①定义域,值域

②,即时,,图象都经过点

③,即时,等于底数

④在定义域上是单调减函数

在定义域上是单调增函数

⑤时,;时,

时,;时,

⑥既不是奇函数,也不是偶函数

(1)当底数大小不定时,必须分“”和“”两种情形讨论;

(2)当时,,;的值越小,图象越靠近轴,递减的速度越快;

当时,,;的值越大,图象越靠近轴,递增速度越快;

(3)函数与的图象关于轴对称;

函数①;②;③;④的图象如下左图所示,则;

即,(底大幂大);时,;

(4)特殊函数:函数,,,的图象如下右图所示.

2.对数函数的定义及图像

(1)对数函数的定义:函数且叫做对数函数,它是指数函数且的反函数.

对数函数的图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形,即可获得.同样也分与两种情况归纳:

以与为例

图象

性质

定义域:

值域:

过定点,即时,

在上增函数

在上是减函数

当时,,当时,

当时,,当时,

(2)底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内,当时,随的增大,对数函数的图象愈靠近轴;当时,对数函数的图象随的增大而远离轴.(见下图)

3.幂函数及其性质

(1)幂函数的定义

一般地,(为有理数)的函数,即以\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank底数为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank自变量,幂为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank因变量,\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank指数为常数的函数.

(2)幂函数的特征:同时满足一下三个条件才是幂函数

①的系数为1; ②的底数是自变量;③指数为常数.

(3)常见的幂函数图像及性质:

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

非奇非偶

单调性

在上单调递增

在上递减,

在上递增

在上单调递增

在上递增

和上递减

公共点

(4)在区间上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近轴(简记为“指大图低”),在区间上,幂函数中指数越大,函数图象越远离轴;

(5)幂函数在第一象限内图象的画法如下(单调性):

①当时,其图象可类似画出;

②当时,其图象可类似画出;

③当时,其图象可类似画出.

幂函数在第二(三)象限内图象的画法如下(奇偶性):

①无奇偶性,如只在第一象限有图象;

②奇函数,则补充第三象限图象,如;

③偶函数,则补充第二象限图象,如.

【例1】(多选)设,在下列函数中,图像经过定点的函数有()

A.B.C.D.

【例2】已知函数的图像恒过一点,且点在直线的图像上,则的最小值为

A.4 B.6 C.7 D.8

【例3】(2019?浙江)在同一直角坐标系中,函数,且的图象可能是

A.B. C.D.

【例4】已知,,,则下列结论正确的是

A. B.

C. D.

【例5】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则函数的单调递增区间为

A. B. C. D.

题型3指对函数与实际应用

【例1】今年10月份,自然资源部联合国家林业和草原局向社会