2.4基本初等函数
考向1幂指对函数
题型1指对的混合运算
1.指数式运算
(1)有理数指数幂的性质
①,,;
②,,;
③,,;
④,,.
(2)注意事项:对于根式记号,要注意以下几点:
①,且;②当是奇数,则;当是偶数,则;
③负数没有偶次方根;
④零的任何次方根都是零;
⑤指数的运算和逆运算,遇到多重根号问题,需要先写成指数形式:
例:.
2.对数式的运算
(1)对数的性质和运算法则:
①特殊对数:;;其中且;
②对数恒等式:(其中且,);
③对数换底公式:,如:.
(2)对数的运算法则:
①外和内乘原理:;
②外差内除原理:;
③提公次方法:,;
④指中有对,没心没肺:和,如:,.
(5)换底公式和对数运算的一些方法:
①常用换底:,如:;
②倒数原理:,如:;
③约分法则:,如:;
④归一法则:.
【例1】(2022?浙江)已知,,则
A.25 B.5 C. D.
【例2】已知,则的值为.
【例3】(2022?天津)化简的值为
A.1 B.2 C.4 D.6
【例4】(2021?天津)若,则
A. B. C.1 D.
【例5】(2024?甲卷)已知,,则______.
题型2幂指对函数的图像及其性质
1.指数函数的定义及图像
图象
性质
①定义域,值域
②,即时,,图象都经过点
③,即时,等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时,;时,
时,;时,
⑥既不是奇函数,也不是偶函数
(1)当底数大小不定时,必须分“”和“”两种情形讨论;
(2)当时,,;的值越小,图象越靠近轴,递减的速度越快;
当时,,;的值越大,图象越靠近轴,递增速度越快;
(3)函数与的图象关于轴对称;
函数①;②;③;④的图象如下左图所示,则;
即,(底大幂大);时,;
(4)特殊函数:函数,,,的图象如下右图所示.
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义:函数且叫做对数函数,它是指数函数且的反函数.
对数函数的图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形,即可获得.同样也分与两种情况归纳:
以与为例
图象
性质
定义域:
值域:
过定点,即时,
在上增函数
在上是减函数
当时,,当时,
当时,,当时,
(2)底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内,当时,随的增大,对数函数的图象愈靠近轴;当时,对数函数的图象随的增大而远离轴.(见下图)
3.幂函数及其性质
(1)幂函数的定义
一般地,(为有理数)的函数,即以\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank底数为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank自变量,幂为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank因变量,\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank指数为常数的函数.
(2)幂函数的特征:同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1; ②的底数是自变量;③指数为常数.
(3)常见的幂函数图像及性质:
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上递减,
在上递增
在上单调递增
在上递增
在
和上递减
公共点
(4)在区间上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近轴(简记为“指大图低”),在区间上,幂函数中指数越大,函数图象越远离轴;
(5)幂函数在第一象限内图象的画法如下(单调性):
①当时,其图象可类似画出;
②当时,其图象可类似画出;
③当时,其图象可类似画出.
幂函数在第二(三)象限内图象的画法如下(奇偶性):
①无奇偶性,如只在第一象限有图象;
②奇函数,则补充第三象限图象,如;
③偶函数,则补充第二象限图象,如.
【例1】(多选)设,在下列函数中,图像经过定点的函数有()
A.B.C.D.
【例2】已知函数的图像恒过一点,且点在直线的图像上,则的最小值为
A.4 B.6 C.7 D.8
【例3】(2019?浙江)在同一直角坐标系中,函数,且的图象可能是
A.B. C.D.
【例4】已知,,,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
【例5】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则函数的单调递增区间为
A. B. C. D.
题型3指对函数与实际应用
【例1】今年10月份,自然资源部联合国家林业和草原局向社会